Номер 7.11, страница 39 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.11, страница 39.

Условие.

7.11* На два быстро вращающихся одинаковых валика положили горизонтально доску массой $\text{m}$ (см. рисунок). Расстояние между осями валиков $\text{L}$, коэффициент трения между доской и валиками $\mu$. Как будет двигаться доска? Как изменится ответ, если оба валика изменят направление вращения?

Решение.

Решение 2.

Эта задача описывает поведение тела на двух вращающихся опорах. Характер движения доски будет зависеть от направления сил трения, которые, в свою очередь, зависят от направления вращения валиков.

Рассмотрим силы, действующие на доску в горизонтальном и вертикальном направлениях.

На доску действуют:

• Сила тяжести $\text{mg}$, приложенная к центру масс доски.
• Силы нормальной реакции опор $N_1$ (от левого валика) и $N_2$ (от правого валика).
• Силы трения скольжения $F_{тр1}$ (от левого валика) и $F_{тр2}$ (от правого валика), равные $F_{тр1} = \mu N_1$ и $F_{тр2} = \mu N_2$.

Введем систему координат: начало $\text{O}$ поместим посередине между осями валиков, а ось $\text{Ox}$ направим горизонтально вправо. Тогда левый валик будет иметь координату $-L/2$, а правый — $+L/2$. Пусть центр масс доски находится в точке с координатой $\text{x}$.

Условия равновесия доски в вертикальной плоскости (поскольку вертикального ускорения нет):

1. Сумма сил по вертикали равна нулю:
$N_1 + N_2 - mg = 0 \implies N_1 + N_2 = mg$

2. Сумма моментов сил относительно центра масс (или любой другой точки) равна нулю. Возьмем моменты относительно центра масс доски (в точке $\text{x}$):
$N_1 \cdot (x - (-L/2)) - N_2 \cdot (L/2 - x) = 0$
$N_1(x + L/2) = N_2(L/2 - x)$

Решим систему этих двух уравнений относительно $N_1$ и $N_2$. Из второго уравнения выразим $N_2$:
$N_2 = N_1 \frac{x+L/2}{L/2-x}$

Подставим в первое уравнение:
$N_1 + N_1 \frac{x+L/2}{L/2-x} = mg$
$N_1 \left(1 + \frac{x+L/2}{L/2-x}\right) = mg$
$N_1 \frac{L/2-x+x+L/2}{L/2-x} = mg$
$N_1 \frac{L}{L/2-x} = mg \implies N_1 = \frac{mg}{L}(L/2 - x)$

Тогда $N_2 = mg - N_1 = mg - \frac{mg}{L}(L/2 - x) = \frac{mg}{L}(L - L/2 + x) = \frac{mg}{L}(L/2 + x)$.

Эти формулы для сил реакции опор будут верны в обоих случаях.

Как будет двигаться доска?

Согласно рисунку, левый валик вращается по часовой стрелке, а правый — против часовой. Это означает, что верхняя поверхность левого валика движется вправо, а верхняя поверхность правого — влево. Силы трения, действующие на доску, направлены в ту же сторону, что и движение поверхностей валиков.

Следовательно, сила трения $F_{тр1}$ направлена вправо (положительное направление оси $\text{Ox}$), а сила $F_{тр2}$ — влево (отрицательное направление).

Результирующая сила в горизонтальном направлении равна:
$F_x = F_{тр1} - F_{тр2} = \mu N_1 - \mu N_2 = \mu (N_1 - N_2)$

Подставим выражения для $N_1$ и $N_2$:
$F_x = \mu \left( \frac{mg}{L}(L/2 - x) - \frac{mg}{L}(L/2 + x) \right)$
$F_x = \frac{\mu mg}{L} (L/2 - x - L/2 - x) = -\frac{2\mu mg}{L}x$

Полученное выражение для силы имеет вид $F_x = -kx$, где $k = \frac{2\mu mg}{L}$ — коэффициент жесткости. Это уравнение описывает возвращающую силу, которая всегда направлена к положению равновесия ($x=0$) и пропорциональна смещению из этого положения.

Согласно второму закону Ньютона, $ma_x = F_x$, или $m\ddot{x} = -kx$. Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Таким образом, доска будет совершать гармонические колебания около центрального положения (положения равновесия $x=0$). Период этих колебаний равен: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m \cdot L}{2\mu mg}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{2\mu g}}$.

Ответ: Доска будет совершать гармонические колебания вокруг положения равновесия, находящегося посередине между валиками.

Как изменится ответ, если оба валика изменят направление вращения?

Если оба валика изменят направление вращения, то левый валик будет вращаться против часовой стрелки (его поверхность движется влево), а правый — по часовой (его поверхность движется вправо).

Теперь сила трения $F_{тр1}$ направлена влево (отрицательное направление), а сила $F_{тр2}$ — вправо (положительное направление).

Результирующая сила в горизонтальном направлении будет:
$F_x = F_{тр2} - F_{тр1} = \mu N_2 - \mu N_1 = \mu (N_2 - N_1)$

Подставим выражения для $N_1$ и $N_2$:
$F_x = \mu \left( \frac{mg}{L}(L/2 + x) - \frac{mg}{L}(L/2 - x) \right)$
$F_x = \frac{\mu mg}{L} (L/2 + x - L/2 + x) = \frac{2\mu mg}{L}x$

В этом случае результирующая сила $F_x$ пропорциональна смещению $\text{x}$ и направлена в ту же сторону, что и смещение. Такая сила не возвращает тело в положение равновесия, а наоборот, стремится удалить его от него.

Положение $x=0$ является положением неустойчивого равновесия. Любое, даже самое малое, смещение доски от центра приведет к появлению силы, которая будет увеличивать это смещение, разгоняя доску до тех пор, пока она не упадет с валиков.

Ответ: Центральное положение доски станет положением неустойчивого равновесия. При малейшем смещении от центра доска начнет ускоренно двигаться в сторону смещения и в итоге соскользнет с валиков.