Номер 7.15, страница 39 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.15, страница 39.

Условие.

7.15*. На рисунке показано положение равновесия колебательной системы — математического маятника с пружинной связью. Найдите период $\text{T}$ малых колебаний системы. Каким станет период $T'$, если пружину заменить тонкой полоской резины той же длины и жесткости?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса груза: $\text{m}$
Длина нити: $\text{l}$
Жесткость пружины (и резины): $\text{k}$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Период малых колебаний с пружиной: $\text{T}$
Период малых колебаний с резиной: $T'$

Решение:

Найдите период T малых колебаний системы.
Рассмотрим малые колебания системы около положения равновесия. При малом горизонтальном смещении $\text{x}$ груза из положения равновесия на него действуют две возвращающие силы в горизонтальном направлении:
1. Сила упругости пружины, которая стремится вернуть тело в положение равновесия: $F_{упр} = -kx$.
2. Горизонтальная составляющая силы натяжения нити. При малом угле отклонения нити $\alpha$ от вертикали, можно считать, что $\sin \alpha \approx \tan \alpha = x/l$. Сила натяжения нити при малых колебаниях примерно равна силе тяжести, $T_{нити} \approx mg$. Тогда возвращающая сила, создаваемая маятником, равна $F_{маятник} = -T_{нити} \sin \alpha \approx -mg \frac{x}{l}$.
Суммарная возвращающая сила, действующая на груз, равна сумме этих двух сил:
$F_{возвр} = F_{упр} + F_{маятник} = -kx - \frac{mg}{l}x = -(k + \frac{mg}{l})x$.
Это уравнение описывает гармонические колебания вида $F = -k_{эфф}x$, где эффективная жесткость системы $k_{эфф} = k + \frac{mg}{l}$.
Период колебаний такой системы определяется по формуле:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{эфф}}}$.
Подставив выражение для $k_{эфф}$, получим период колебаний системы с пружиной:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k + mg/l}}$.
Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k + mg/l}}$.

Каким станет период T', если пружину заменить тонкой полоской резины той же длины и жесткости?
Основное отличие резины от пружины заключается в том, что резина создает упругую силу только при растяжении и не работает на сжатие. Из-за этого колебания системы не будут чисто гармоническими, а будут состоять из двух разных полупериодов.
1. Движение вправо от положения равновесия ($x > 0$). В этой части траектории резина растянута и на груз действуют обе возвращающие силы: от резины и от нити. Эффективная жесткость системы, как и в первом случае, $k_1 = k + \frac{mg}{l}$. Время, за которое груз отклонится вправо до максимального положения и вернется в положение равновесия, составляет половину периода $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}$. Таким образом, длительность этого полуколебания $t_1 = \frac{T_1}{2} = \pi\sqrt{\frac{m}{k + mg/l}}$.
2. Движение влево от положения равновесия ($x < 0$). В этой части траектории резина не натянута (сжата) и не оказывает действия на груз. Возвращающая сила создается только за счет гравитации (как у математического маятника). Эффективная жесткость в этом случае $k_2 = \frac{mg}{l}$. Время, за которое груз отклонится влево до максимального положения и вернется в положение равновесия, составляет половину периода $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$. Длительность этого полуколебания $t_2 = \frac{T_2}{2} = \pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.
Полный период колебаний $T'$ будет равен сумме длительностей этих двух разных полуколебаний:
$T' = t_1 + t_2 = \pi\sqrt{\frac{m}{k + mg/l}} + \pi\sqrt{\frac{l}{g}} = \pi\left(\sqrt{\frac{m}{k + mg/l}} + \sqrt{\frac{l}{g}}\right)$.
Ответ: $T' = \pi\left(\sqrt{\frac{m}{k + mg/l}} + \sqrt{\frac{l}{g}}\right)$.