Номер 7.17, страница 40 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.17, страница 40.

Условие.

7.17*. Два одинаковых математических маятника длиной $\text{l}$ связаны невесомой пружиной жесткостью $\text{k}$. На рисунке показано положение равновесия системы. Маятники отклоняют (в плоскости рисунка) на одинаковые по величине углы и отпускают. Найдите период $\text{T}$ малых колебаний связанных маятников, если:

а) маятники отклонены в одну сторону (колебания в одной фазе);

б) маятники отклонены в противоположные стороны (колебания в противофазе).

Решение.

Решение 2.

Дано:

Два одинаковых математических маятника

Длина каждого маятника: $\text{l}$

Масса каждого груза: $\text{m}$

Жесткость пружины: $\text{k}$

Колебания малые.

Найти:

Период колебаний $\text{T}$ для двух случаев.

Решение:

Запишем уравнение движения для каждого из маятников в проекции на горизонтальную ось. Пусть $x_1$ и $x_2$ — горизонтальные смещения левого и правого грузов от положения равновесия.

На каждый груз действуют две силы, имеющие горизонтальную составляющую: возвращающая сила тяжести и сила упругости пружины. Для малых колебаний (малые углы отклонения $\theta$) возвращающая сила тяжести, действующая на маятник, равна $F_g = -mg\sin\theta \approx -mg\theta$. Так как $x = l\sin\theta \approx l\theta$, то $F_g \approx -\frac{mg}{l}x$.

Сила упругости, действующая на левый груз: $F_{s1} = -k(x_1 - x_2)$.

Сила упругости, действующая на правый груз: $F_{s2} = -k(x_2 - x_1)$.

Уравнения второго закона Ньютона для маятников:

$m\ddot{x}_1 = -\frac{mg}{l}x_1 - k(x_1 - x_2)$

$m\ddot{x}_2 = -\frac{mg}{l}x_2 - k(x_2 - x_1)$

Рассмотрим два заданных случая, которые являются нормальными модами колебаний системы.

а) маятники отклонены в одну сторону (колебания в одной фазе)

В этом случае смещения маятников в любой момент времени совпадают: $x_1(t) = x_2(t) = x(t)$.

Подставим это условие в уравнение движения для любого из маятников, например, для левого:

$m\ddot{x} = -\frac{mg}{l}x - k(x - x) = -\frac{mg}{l}x$

Пружина при таких колебаниях не деформируется, и сила упругости равна нулю. Движение каждого маятника происходит так, как будто пружины нет. Уравнение $m\ddot{x} + \frac{mg}{l}x = 0$ описывает гармонические колебания. Коэффициент при $\text{x}$ представляет собой эффективную жесткость системы $K_{eff} = \frac{mg}{l}$.

Циклическая частота колебаний $\omega_a = \sqrt{\frac{K_{eff}}{m}} = \sqrt{\frac{mg/l}{m}} = \sqrt{\frac{g}{l}}$.

Период колебаний $T_a$ равен:

$T_a = \frac{2\pi}{\omega_a} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

б) маятники отклонены в противоположные стороны (колебания в противофазе)

В этом случае смещения маятников равны по модулю и противоположны по направлению: $x_2(t) = -x_1(t)$. Положим $x_1 = x$, тогда $x_2 = -x$.

Подставим это в уравнение движения для левого маятника:

$m\ddot{x} = -\frac{mg}{l}x - k(x - (-x)) = -\frac{mg}{l}x - 2kx = -(\frac{mg}{l} + 2k)x$

Это уравнение гармонических колебаний $m\ddot{x} + (\frac{mg}{l} + 2k)x = 0$. Эффективная жесткость системы в этом случае $K_{eff} = \frac{mg}{l} + 2k$. Возвращающая сила складывается из силы тяжести и силы упругости пружины, которая растягивается/сжимается на величину $\text{2x}$.

Циклическая частота колебаний $\omega_б = \sqrt{\frac{K_{eff}}{m}} = \sqrt{\frac{mg/l + 2k}{m}} = \sqrt{\frac{g}{l} + \frac{2k}{m}}$.

Период колебаний $T_б$ равен:

$T_б = \frac{2\pi}{\omega_б} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{mg/l + 2k}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{mg/l + 2k}}$