Номер 7.10, страница 38 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.10, страница 38.

Условие.

7.10*. Найдите периоды $\text{T}$ колебаний систем, изображенных на рис. а, б, в. Коэффициенты жесткости пружин равны $k_1$ и $k_2$, масса груза $\text{m}$. Трение отсутствует.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Коэффициенты жесткости пружин: $k_1$, $k_2$.

Масса груза: $\text{m}$.

Трение отсутствует.

Найти:

Периоды колебаний $\text{T}$ для систем, изображенных на рис. а, б, в.

Решение:

Период гармонических колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{экв}}}$

где $\text{m}$ — масса груза, а $k_{экв}$ — эквивалентная (или общая) жесткость системы пружин. Для решения задачи необходимо найти эквивалентную жесткость для каждого из трех случаев.

а

На рис. а пружины соединены параллельно. При смещении груза на расстояние $\text{x}$ от положения равновесия обе пружины деформируются на одинаковую величину $\text{x}$. Результирующая возвращающая сила, действующая на груз, равна сумме сил упругости каждой пружины:

$F_{возвр} = F_1 + F_2 = -k_1 x - k_2 x = -(k_1 + k_2)x$

С другой стороны, для эквивалентной пружины $F_{возвр} = -k_{экв} x$. Сравнивая два выражения, находим эквивалентную жесткость для параллельного соединения:

$k_{экв, а} = k_1 + k_2$

Тогда период колебаний системы будет равен:

$T_a = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$

Ответ: $T_a = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$

б

На рис. б пружины соединены последовательно. При последовательном соединении сила упругости, действующая на каждую пружину, одинакова и равна силе $\text{F}$, приложенной к системе. Общее удлинение системы $\text{x}$ равно сумме удлинений каждой пружины $x_1$ и $x_2$:

$x = x_1 + x_2$

Согласно закону Гука $F = kx$, удлинения равны $x_1 = \frac{F}{k_1}$ и $x_2 = \frac{F}{k_2}$. Тогда общее удлинение:

$x = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} = F (\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2})$

Для эквивалентной пружины $x = \frac{F}{k_{экв}}$. Сравнивая выражения, получаем формулу для эквивалентной жесткости при последовательном соединении:

$\frac{1}{k_{экв, б}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = \frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2}$

Отсюда $k_{экв, б} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$.

Тогда период колебаний системы равен:

$T_б = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{экв, б}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1 k_2}}$

Ответ: $T_б = 2\pi \sqrt{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1 k_2}}$

в

На рис. в груз находится между двумя пружинами. При смещении груза из положения равновесия на расстояние $\text{x}$ (например, вправо), одна пружина (правая, с жесткостью $k_2$) сжимается на $\text{x}$, а другая (левая, с жесткостью $k_1$) растягивается на $\text{x}$. Обе пружины создают возвращающие силы, направленные в одну сторону (влево):

$F_1 = -k_1 x$ (от левой пружины)

$F_2 = -k_2 x$ (от правой пружины)

Результирующая возвращающая сила равна их сумме:

$F_{возвр} = F_1 + F_2 = -k_1 x - k_2 x = -(k_1 + k_2)x$

Это выражение для возвращающей силы совпадает со случаем параллельного соединения пружин. Следовательно, эквивалентная жесткость системы такая же:

$k_{экв, в} = k_1 + k_2$

Период колебаний системы:

$T_в = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$

Ответ: $T_в = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$