Номер 7.6, страница 38 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.6, страница 38.

Условие.

7.6. В вагоне поезда подвешен маятник длиной $l = 1$ м. При движении поезда маятник раскачивается от толчков на стыках рельсов. При какой скорости $\text{v}$ поезда маятник раскачивается особенно сильно, если длина рельсов $L = 25$ м?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина маятника $l = 1$ м

Длина рельса $L = 25$ м

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Скорость поезда $\text{v}$

Решение:

Маятник в вагоне поезда представляет собой колебательную систему, которая имеет собственный период колебаний. Толчки, которые вагон испытывает на стыках рельсов, являются внешней периодической силой, действующей на маятник. Маятник будет раскачиваться особенно сильно, когда наступит явление резонанса. Резонанс возникает в том случае, когда период собственных колебаний маятника $T_0$ совпадает с периодом $\text{T}$ действия внешней силы (периодом следования толчков).

Период собственных колебаний математического маятника определяется по формуле:

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ — длина маятника, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Период толчков $\text{T}$ — это время, за которое поезд проходит расстояние, равное длине одного рельса $\text{L}$, двигаясь со скоростью $\text{v}$. Этот период можно рассчитать по формуле равномерного движения:

$T = \frac{L}{v}$

Условием резонанса, при котором амплитуда колебаний маятника будет максимальной, является равенство периодов:

$T_0 = T$

Приравняем правые части выражений для периодов:

$2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = \frac{L}{v}$

Из этого уравнения выразим искомую скорость поезда $\text{v}$:

$v = \frac{L}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}$

Теперь подставим числовые значения в формулу. Рассчитаем сначала период собственных колебаний маятника $T_0$:

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{1 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{0.10204} \text{ с} \approx 6.28 \cdot 0.3194 \text{ с} \approx 2.006$ с

Для простоты расчетов в подобных задачах часто принимают $g \approx \pi^2 \approx 9.87$ м/с², что дает для маятника длиной 1 м период, равный ровно 2 секундам:

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{1 \text{ м}}{\pi^2 \text{ м/с}^2}} = 2\pi \cdot \frac{1}{\pi} \text{ с} = 2$ с

Используем это значение для нахождения скорости:

$v = \frac{L}{T_0} = \frac{25 \text{ м}}{2 \text{ с}} = 12.5$ м/с

Часто скорость поездов указывают в километрах в час (км/ч). Переведем полученное значение:

$v = 12.5 \text{ м/с} \cdot 3.6 \frac{\text{км/ч}}{\text{м/с}} = 45$ км/ч

Ответ: Скорость поезда, при которой маятник раскачивается особенно сильно, составляет $12.5$ м/с, или $\text{45}$ км/ч.