Номер 6.31, страница 37 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.31, страница 37.

Условие.

6.31*. Перевернутая кастрюля массой $\text{m}$ и радиусом $\text{R}$ стоит на гладком резиновом коврике, плотно прилегая к нему краями. В центре дна кастрюли имеется круглое отверстие радиусом $\text{r}$, в которое плотно вставлена легкая вертикальная трубка. В кастрюлю через трубку наливают воду. При какой длине $\text{h}$ столба воды в трубке вода начнет вытекать из-под кастрюли?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса кастрюли: $\text{m}$
Радиус кастрюли: $\text{R}$
Радиус отверстия: $\text{r}$

Найти:

Высоту столба воды $\text{h}$.

Решение:
Вода начнет вытекать из-под кастрюли, когда кастрюля будет приподнята силой давления воды. Это произойдет в тот момент, когда сила давления воды, действующая на дно кастрюли снизу вверх, станет равной силе тяжести кастрюли.
Сила тяжести $F_g$, действующая на кастрюлю, направлена вниз и равна:
$F_g = mg$
где $\text{g}$ — ускорение свободного падения.
Сила гидростатического давления $F_p$ создается столбом воды высотой $\text{h}$ и действует на дно кастрюли снизу вверх. Избыточное давление воды на уровне дна кастрюли равно:
$p = \rho g h$
где $\rho$ — плотность воды.
Это давление действует на площадь дна кастрюли, которая представляет собой кольцо с внешним радиусом $\text{R}$ и внутренним радиусом $\text{r}$. Площадь этого кольца $\text{S}$ равна:
$S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$
Сила давления воды на дно кастрюли равна произведению давления на площадь:
$F_p = p \cdot S = \rho g h \pi(R^2 - r^2)$
Условие отрыва кастрюли от поверхности (начало вытекания воды) — это равенство силы давления и силы тяжести:
$F_p = F_g$
Подставляя выражения для сил, получаем уравнение:
$\rho g h \pi(R^2 - r^2) = mg$
Из этого уравнения выражаем искомую высоту $\text{h}$:
$h = \frac{mg}{\rho g \pi(R^2 - r^2)}$
Сокращая $\text{g}$, получаем окончательный ответ:
$h = \frac{m}{\rho \pi(R^2 - r^2)}$
Ответ: $h = \frac{m}{\rho \pi(R^2 - r^2)}$.