Номер 7.16, страница 39 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.16, страница 39.

Условие.

7.16**. Во сколько раз изменится частота малых колебаний небольшого груза на легком стержне (см. рисунок), если к середине стержня прикрепить легкую горизонтальную пружину с жесткостью $\text{k}$? В равновесии стержень занимает вертикальное положение.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$\text{m}$ - масса груза,

$\text{l}$ - длина стержня,

$\text{k}$ - жесткость пружины,

$\text{g}$ - ускорение свободного падения.

Найти:

Отношение новой частоты колебаний $\nu$ к начальной частоте $\nu_0$, то есть $\frac{\nu}{\nu_0}$.

Решение:

1. Частота колебаний без пружины ($\nu_0$)

Система без пружины представляет собой математический маятник, так как стержень легкий. Частота малых колебаний такого маятника определяется формулой:

$\nu_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

2. Частота колебаний с пружиной ($\nu$)

Рассмотрим стержень, отклоненный на малый угол $\alpha$ от вертикального положения равновесия. На систему действуют две возвращающие силы, создающие моменты сил относительно точки подвеса: сила тяжести и сила упругости пружины.

Момент силы тяжести $M_g$ равен произведению проекции силы тяжести на направление, перпендикулярное стержню, и длины стержня:

$M_g = -(mg\sin\alpha) \cdot l$

Для малых углов $\sin\alpha \approx \alpha$, поэтому:

$M_g \approx -mgl\alpha$

Знак "минус" указывает, что момент является возвращающим.

Пружина прикреплена к середине стержня. При отклонении на угол $\alpha$ середина стержня смещается в горизонтальном направлении на расстояние $x = \frac{l}{2}\sin\alpha$. Для малых углов $x \approx \frac{l}{2}\alpha$.

Возникающая в пружине сила упругости $F_k = -kx = -k\frac{l}{2}\alpha$.

Эта сила создает момент $M_k$ относительно точки подвеса. Плечо силы (для малого угла $\alpha$) равно $\frac{l}{2}\cos\alpha \approx \frac{l}{2}$.

$M_k = F_k \cdot \frac{l}{2} = \left(-k\frac{l}{2}\alpha\right) \cdot \frac{l}{2} = -\frac{kl^2}{4}\alpha$

Суммарный возвращающий момент равен сумме моментов:

$M = M_g + M_k = -mgl\alpha - \frac{kl^2}{4}\alpha = -\left(mgl + \frac{kl^2}{4}\right)\alpha$

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения, $I\varepsilon = M$, где $\text{I}$ - момент инерции, а $\varepsilon = \ddot{\alpha}$ - угловое ускорение. Момент инерции груза $I = ml^2$.

$ml^2\ddot{\alpha} = -\left(mgl + \frac{kl^2}{4}\right)\alpha$

Перепишем уравнение в стандартном виде для гармонических колебаний $\ddot{\alpha} + \omega^2\alpha = 0$:

$\ddot{\alpha} + \frac{mgl + \frac{kl^2}{4}}{ml^2}\alpha = 0$

$\ddot{\alpha} + \left(\frac{g}{l} + \frac{k}{4m}\right)\alpha = 0$

Отсюда квадрат циклической частоты колебаний системы с пружиной:

$\omega^2 = \frac{g}{l} + \frac{k}{4m}$

А обычная частота $\nu$ равна:

$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l} + \frac{k}{4m}}$

3. Нахождение отношения частот

Теперь найдем, во сколько раз изменится частота, вычислив отношение $\frac{\nu}{\nu_0}$:

$\frac{\nu}{\nu_0} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l} + \frac{k}{4m}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}} = \sqrt{\frac{\frac{g}{l} + \frac{k}{4m}}{\frac{g}{l}}} = \sqrt{1 + \frac{k/4m}{g/l}} = \sqrt{1 + \frac{kl}{4mg}}$

Ответ: Частота колебаний увеличится в $\sqrt{1 + \frac{kl}{4mg}}$ раз.