Номер 7.14, страница 39 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 7. Механические колебания и волны - номер 7.14, страница 39.

Условие.

7.14*. Покоряя Северный полюс, я очутился один посреди отколовшейся плоской льдины. От огорчения я подпрыгнул, и льдина вместе со мной начала колебаться, совершая одно колебание в секунду. Измерив площадь льдины ($S = 5 \text{ м}^2$), я сразу успокоился: мне стало ясно, что льдина достаточно толстая. Какова ее толщина, если моя масса ($m = 80 \text{ кг}$)?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса человека, $m = 80$ кг
Площадь льдины, $S = 5 \text{ м}^2$
Период колебаний, $T = 1$ с (так как совершается одно колебание в секунду)
Плотность воды, $\rho_в \approx 1000 \text{ кг/м}^3$
Плотность льда, $\rho_л \approx 900 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Толщину льдины, $\text{h}$ - ?

Решение:

Колебания льдины с человеком являются гармоническими. Период таких колебаний определяется по формуле:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$

где $\text{M}$ – общая масса колеблющейся системы (человек + льдина), а $\text{k}$ – коэффициент жесткости системы.

Общая масса $\text{M}$ равна сумме массы человека $\text{m}$ и массы льдины $m_л$:

$M = m + m_л$

Массу льдины можно выразить через ее объем $V_л$ и плотность $\rho_л$. Объем, в свою очередь, через площадь $\text{S}$ и толщину $\text{h}$:

$m_л = \rho_л V_л = \rho_л S h$

Таким образом, общая масса системы:

$M = m + \rho_л S h$

Коэффициент жесткости $\text{k}$ определяется возвращающей силой, которая возникает при смещении льдины из положения равновесия. Этой силой является изменение выталкивающей силы Архимеда. При смещении льдины на малую величину $\text{x}$ вниз, объем погруженной части увеличивается на $\Delta V = S x$. Это создает дополнительную выталкивающую силу, направленную вверх:

$\Delta F_A = \rho_в g \Delta V = \rho_в g S x$

Эта сила является возвращающей, то есть $F_{восст} = - \Delta F_A = -(\rho_в g S)x$. С другой стороны, для гармонических колебаний $F_{восст} = -kx$. Сравнивая эти два выражения, находим коэффициент жесткости:

$k = \rho_в g S$

Теперь подставим выражения для $\text{M}$ и $\text{k}$ в формулу периода колебаний:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m + \rho_л S h}{\rho_в g S}}$

Выразим из этой формулы искомую толщину $\text{h}$. Сначала возведем обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = 4\pi^2 \frac{m + \rho_л S h}{\rho_в g S}$

Преобразуем уравнение, чтобы выделить $\text{h}$:

$T^2 \rho_в g S = 4\pi^2 (m + \rho_л S h)$

$\frac{T^2 \rho_в g S}{4\pi^2} = m + \rho_л S h$

$\rho_л S h = \frac{T^2 \rho_в g S}{4\pi^2} - m$

$h = \frac{T^2 \rho_в g S}{4\pi^2 \rho_л S} - \frac{m}{\rho_л S} = \frac{T^2 \rho_в g}{4\pi^2 \rho_л} - \frac{m}{\rho_л S}$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{1^2 \cdot 1000 \cdot 9.8}{4 \cdot (3.14)^2 \cdot 900} - \frac{80}{900 \cdot 5} \approx \frac{9800}{4 \cdot 9.87 \cdot 900} - \frac{80}{4500}$

$h \approx \frac{9800}{35532} - 0.0178 \approx 0.2758 - 0.0178 \approx 0.258 \text{ м}$

Ответ: толщина льдины составляет примерно $0.26$ м или $\text{26}$ см.