Номер 8.23, страница 46 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.23, страница 46.

Условие.

8.23**. Санки скатываются без начальной скорости из точки А (см. рисунок). При каком значении коэффициента трения $\mu$ санки преодолеют горку? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано

Будем считать, что одна клетка на рисунке соответствует условной единице длины $\text{k}$.

Начальная скорость санок: $v_A = 0$ м/с.

Начальная высота (точка А) относительно самого низкого уровня трассы: $H = 3k$.

Высота горки (точка В), которую нужно преодолеть: $h = 1k$.

Горизонтальное расстояние, пройденное санками от точки А до вершины горки B: $L = 11k - 4k = 7k$.

Найти:

Коэффициент трения $\mu$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии с учетом работы силы трения. Изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил (в данном случае, силы трения).

$\Delta E = E_B - E_A = W_{тр}$

где $E_A$ — полная механическая энергия в начальной точке А, $E_B$ — полная механическая энергия в конечной точке В (вершина горки), $W_{тр}$ — работа силы трения на пути от А до В.

Полная механическая энергия в точке А:

$E_A = E_{кА} + E_{пА}$

Поскольку санки начинают движение без начальной скорости ($v_A=0$), их кинетическая энергия $E_{кА}=0$. Потенциальная энергия равна $E_{пА} = mgH$.

$E_A = mgH$

Полная механическая энергия в точке B:

$E_B = E_{кB} + E_{пB}$

По условию, санки должны преодолеть горку. Критическое условие для преодоления горки — это достижение ее вершины с нулевой скоростью ($v_B=0$). Следовательно, кинетическая энергия в этой точке $E_{кB}=0$. Потенциальная энергия равна $E_{пB} = mgh$.

$E_B = mgh$

Теперь найдем работу силы трения $W_{тр}$. Работа силы трения на малом участке пути $\text{ds}$ равна:

$dW_{тр} = -F_{тр} ds$

Сила трения $F_{тр} = \mu N$, где $\text{N}$ — сила нормальной реакции опоры. На наклонном участке с углом $\alpha$ к горизонту, без учета центробежной силы, $N = mg \cos\alpha$. Тогда:

$dW_{тр} = -\mu mg \cos\alpha ds$

Элемент пути $\text{ds}$ связан с его горизонтальной проекцией $\text{dx}$ как $dx = ds \cos\alpha$. Подставив это в выражение для работы, получаем:

$dW_{тр} = -\mu mg dx$

Проинтегрировав это выражение по всему горизонтальному пути $\text{L}$ от точки А до точки В, найдем полную работу силы трения:

$W_{тр} = \int_0^L -\mu mg dx = -\mu mg L$

Примечание: Данный подход является приближением, так как не учитывает изменение силы нормальной реакции из-за центробежного ускорения на криволинейных участках трассы. Однако в рамках школьных задач такое приближение считается допустимым.

Подставим все найденные величины в закон сохранения энергии:

$mgh - mgH = -\mu mg L$

Сократим обе части уравнения на $\text{mg}$ (масса санок не имеет значения):

$h - H = -\mu L$

Отсюда выразим коэффициент трения $\mu$:

$\mu L = H - h$

$\mu = \frac{H - h}{L}$

Подставим значения, определенные по рисунку:

$\mu = \frac{3k - 1k}{7k} = \frac{2k}{7k} = \frac{2}{7}$

Ответ: $\mu = \frac{2}{7} \approx 0.286$.