Номер 8.24, страница 46 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.24, страница 46.

Условие.

8.24*. С какой скоростью $\text{v}$ вытекает жидкость из маленького отверстия в дне сосуда в тот момент, когда высота уровня жидкости относительно дна равна $\text{H}$? Трением в жидкости можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Высота уровня жидкости: $\text{H}$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$
Трение в жидкости отсутствует (идеальная жидкость).

Найти:

Скорость вытекания жидкости: $\text{v}$

Решение:

Для решения этой задачи используем уравнение Бернулли, которое описывает стационарное течение идеальной (без трения) несжимаемой жидкости. Уравнение связывает давление, скорость и высоту в двух точках потока:

$P_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} + \rho g h_1 = P_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} + \rho g h_2$

где $\text{P}$ — давление, $\rho$ — плотность жидкости, $\text{v}$ — скорость течения, $\text{h}$ — высота, $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Выберем две точки для применения уравнения:

1. Точку 1 на свободной поверхности жидкости в сосуде.

2. Точку 2 в отверстии, из которого вытекает жидкость. За нулевой уровень отсчета высоты ($h=0$) примем дно сосуда.

Определим параметры для точки 1 (на поверхности жидкости):

• Высота над дном: $h_1 = H$.
• Давление $P_1$ равно атмосферному давлению $P_{атм}$, так как сосуд открыт.
• Так как отверстие маленькое, площадь поперечного сечения сосуда намного больше площади отверстия. Поэтому можно считать, что скорость понижения уровня жидкости пренебрежимо мала: $v_1 \approx 0$.

Определим параметры для точки 2 (в отверстии):

• Высота над дном: $h_2 = 0$.
• Давление $P_2$ в вытекающей струе также равно атмосферному $P_{атм}$, поскольку жидкость вытекает в атмосферу.
• Скорость жидкости в этой точке $v_2 = v$ — это искомая скорость.

Теперь подставим эти значения в уравнение Бернулли:

$P_{атм} + \frac{\rho \cdot 0^2}{2} + \rho g H = P_{атм} + \frac{\rho v^2}{2} + \rho g \cdot 0$

Упростим выражение:

$P_{атм} + \rho g H = P_{атм} + \frac{\rho v^2}{2}$

Члены с атмосферным давлением $P_{атм}$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются:

$\rho g H = \frac{\rho v^2}{2}$

Плотность жидкости $\rho$ также сокращается:

$g H = \frac{v^2}{2}$

Из этого уравнения выражаем искомую скорость $\text{v}$:

$v^2 = 2 g H$

$v = \sqrt{2 g H}$

Полученное выражение известно как формула Торричелли.

Ответ: Скорость, с которой жидкость вытекает из отверстия, определяется по формуле $v = \sqrt{2 g H}$.