Номер 8.28, страница 47 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.28, страница 47.

Условие.

8.28*. На поверхности пруда плавает доска массой $\text{M}$ и длиной $\text{L}$. На конце доски сидит лягушка массой $\text{m}$. Лягушка прыгает под углом $\alpha$ к горизонту и «приземляется» на другом конце доски. Найдите начальную скорость $v_0$ лягушки относительно Земли. Сопротивлением воды можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса доски: $\text{M}$

Длина доски: $\text{L}$

Масса лягушки: $\text{m}$

Угол прыжка к горизонту: $\alpha$

Найти:

$v_0$ — начальная скорость лягушки относительно Земли.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из лягушки и доски. Так как по условию задачи сопротивлением воды можно пренебречь, то в горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы. Это означает, что для горизонтальной проекции импульса системы выполняется закон сохранения импульса.

В начальный момент времени и лягушка, и доска покоятся, поэтому суммарный импульс системы равен нулю.

Пусть $v_0$ — начальная скорость лягушки относительно Земли под углом $\alpha$ к горизонту. Разложим эту скорость на горизонтальную и вертикальную составляющие:

Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos \alpha$.

Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin \alpha$.

В момент прыжка лягушка приобретает горизонтальный импульс $m v_{0x}$. Согласно закону сохранения импульса, доска приобретет скорость $\text{V}$ в противоположном направлении. Запишем закон сохранения импульса для проекции на горизонтальную ось:

$0 = m v_{0x} + M V$

$0 = m v_0 \cos \alpha + M V$

Отсюда скорость доски относительно Земли равна:

$V = - \frac{m}{M} v_0 \cos \alpha$

Знак «минус» указывает на то, что доска движется в сторону, противоположную горизонтальному движению лягушки.

Теперь рассмотрим движение лягушки. Её полет — это движение тела, брошенного под углом к горизонту. Время полета $\text{t}$ определяется вертикальной составляющей движения. Лягушка начинает и заканчивает свой прыжок на одной и той же высоте (поверхность доски). Уравнение для вертикальной координаты $\text{y}$ имеет вид:

$y(t) = v_{0y} t - \frac{g t^2}{2}$

В момент приземления $\text{t}$, координата $y(t) = 0$.

$0 = (v_0 \sin \alpha) t - \frac{g t^2}{2}$

Так как $t \neq 0$, получаем время полета:

$t = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g}$

За время полета $\text{t}$ лягушка должна "приземлиться" на другой конец доски. В системе отсчета, связанной с Землей, горизонтальное смещение лягушки $S_f = v_{0x} t$, а смещение доски $S_b = V t$. Лягушка прыгает с одного конца доски и приземляется на другой. Это значит, что горизонтальное расстояние, которое пролетела лягушка, должно быть равно начальному расстоянию до другого конца доски ($\text{L}$) плюс смещение самой доски.

$S_f = L + S_b$

$(v_0 \cos \alpha) t = L + V t$

Подставим выражение для $\text{V}$:

$(v_0 \cos \alpha) t = L - (\frac{m}{M} v_0 \cos \alpha) t$

Соберем все слагаемые, содержащие $\text{t}$, в левой части:

$(v_0 \cos \alpha) t (1 + \frac{m}{M}) = L$

$(v_0 \cos \alpha) t (\frac{M+m}{M}) = L$

Теперь подставим найденное ранее выражение для времени полета $\text{t}$:

$(v_0 \cos \alpha) \left( \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g} \right) \left( \frac{M+m}{M} \right) = L$

Преобразуем выражение, используя формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$:

$\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} \left( \frac{M+m}{M} \right) = L$

Выразим $v_0^2$:

$v_0^2 = \frac{g L M}{(M+m) \sin(2\alpha)}$

И окончательно находим начальную скорость лягушки:

$v_0 = \sqrt{\frac{g L M}{(M+m) \sin(2\alpha)}}$

Ответ: $v_0 = \sqrt{\frac{g L M}{(M+m) \sin(2\alpha)}}$