Номер 8.30, страница 47 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.30, страница 47.

Условие.

8.30**. На концах очень длинной нити, переброшенной через два неподвижных блока, подвешены одинаковые грузы массой $\text{m}$ каждый. Расстояние между блоками $\text{2l}$. К нити посередине между блоками прикрепляют груз массой $\text{2m}$ (см. рисунок) и отпускают его. Каковы будут скорости всех грузов спустя длительное время?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса боковых грузов: $m_{1} = m_{2} = m$

Масса центрального груза: $M = 2m$

Расстояние между блоками: $D = 2l$

Начальные скорости всех грузов: $v_0 = 0$

Найти:

Скорости всех грузов $v_m$ и $v_{2m}$ спустя длительное время ($t \to \infty$).

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из трех грузов и нити. Поскольку силы натяжения нити являются внутренними для системы, а сила тяжести — потенциальной, для данной системы выполняется закон сохранения полной механической энергии.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии горизонтальную линию, проходящую через блоки. В начальный момент система покоится, груз массой $\text{2m}$ находится на нулевом уровне, а боковые грузы массой $\text{m}$ находятся на некоторой высоте, которую мы также можем принять за ноль отсчета их потенциальной энергии. Таким образом, полная начальная энергия системы равна нулю: $E_0 = 0$.

Пусть в некоторый момент времени центральный груз массой $\text{2m}$ опустился на расстояние $\text{y}$. Его скорость в этот момент обозначим $v_{2m}$.

При этом боковые грузы массой $\text{m}$ должны подняться. Найдем высоту их подъема $\text{h}$. Когда центральный груз опускается на $\text{y}$, длина нити между блоками, которая изначально была равна $\text{2l}$, становится равной $2\sqrt{l^2+y^2}$. Это изменение длины ($2\sqrt{l^2+y^2} - 2l$) происходит за счет укорачивания вертикальных участков нити. Так как боковых грузов два, каждый из них поднимется на высоту:

$h = \frac{2\sqrt{l^2+y^2} - 2l}{2} = \sqrt{l^2+y^2} - l$

Теперь найдем связь между скоростями грузов. Скорость боковых грузов $v_m$ является производной от высоты их подъема $\text{h}$ по времени:

$v_m = \frac{dh}{dt} = \frac{d}{dt}(\sqrt{l^2+y^2} - l) = \frac{1}{2\sqrt{l^2+y^2}} \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dt}$

Учитывая, что скорость центрального груза $v_{2m} = \frac{dy}{dt}$, получаем:

$v_m = v_{2m} \frac{y}{\sqrt{l^2+y^2}}$

Запишем закон сохранения энергии: полная энергия системы $\text{E}$ в любой момент времени равна начальной энергии $E_0=0$.

$E = K + U = (\frac{1}{2}(2m)v_{2m}^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}mv_m^2) + (-2mgy + 2mgh) = 0$

Подставим выражения для $v_m$ и $\text{h}$:

$mv_{2m}^2 + m\left(v_{2m} \frac{y}{\sqrt{l^2+y^2}}\right)^2 - 2mgy + 2mg(\sqrt{l^2+y^2} - l) = 0$

Вопрос задачи — найти скорости "спустя длительное время". Это соответствует пределу, когда центральный груз опустится очень низко, то есть $y \to \infty$.

В этом пределе соотношение скоростей стремится к:

$\lim_{y \to \infty} v_m = \lim_{y \to \infty} \left(v_{2m} \frac{y}{\sqrt{l^2+y^2}}\right) = \lim_{y \to \infty} \left(v_{2m} \frac{y}{y\sqrt{1+l^2/y^2}}\right) = v_{2m}$

Таким образом, при $t \to \infty$ скорости всех грузов становятся одинаковыми. Обозначим эту предельную скорость как $\text{v}$.

Теперь рассмотрим изменение энергии системы. При $t \to \infty$ ($y \to \infty$) кинетическая энергия системы будет равна:

$K_f = \frac{1}{2}(2m)v^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}mv^2 = 2mv^2$

Изменение потенциальной энергии системы $\Delta U$ при опускании груза $\text{2m}$ на бесконечно большое расстояние $\text{y}$ равно:

$\Delta U = \lim_{y \to \infty} [-2mgy + 2mg(\sqrt{l^2+y^2}-l)]$

Для нахождения этого предела воспользуемся разложением в ряд Тейлора для $\sqrt{l^2+y^2}$ при больших $\text{y}$:

$\sqrt{l^2+y^2} = y\sqrt{1+\frac{l^2}{y^2}} \approx y\left(1+\frac{1}{2}\frac{l^2}{y^2}\right) = y+\frac{l^2}{2y}$

Подставляем это в выражение для $\Delta U$:

$\Delta U = \lim_{y \to \infty} \left[-2mgy + 2mg\left(y+\frac{l^2}{2y}-l\right)\right] = \lim_{y \to \infty} \left[-2mgy + 2mgy + \frac{mgl^2}{y} - 2mgl\right]$

$\Delta U = \lim_{y \to \infty} \left[\frac{mgl^2}{y} - 2mgl\right] = -2mgl$

По закону сохранения энергии, полная потеря потенциальной энергии переходит в кинетическую энергию: $\Delta K = -\Delta U$.

$K_f - K_0 = -(-2mgl)$

$2mv^2 - 0 = 2mgl$

$v^2 = gl$

$v = \sqrt{gl}$

Ответ: Спустя длительное время скорости всех трех грузов станут одинаковыми и равными $v = \sqrt{gl}$.