Номер 8.37, страница 48 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 8. Комбинированные задачи по механике - номер 8.37, страница 48.

Условие.

8.37**. В одном из своих путешествий я открыл неизвестную планету Солнечной системы. Она, как и наша Земля, имеет радиус $r = 6400 \text{ км}$, причем радиус ее круговой орбиты составляет тоже 150 миллионов километров. Однако эта планета, в отличие от Земли, движется вокруг Солнца поступательно, то есть у нее отсутствует суточное вращение. Гуляя, я обошел с чувствительным динамометром всю планету и с удивлением обнаружил, что ускорение свободного падения $\text{g}$ не всюду одинаково! Сможете ли вы объяснить это явление? Заодно подсчитайте, на сколько максимальное значение $\text{g}$ на этой планете отличается от минимального. Для расчетов примите, что планета представляет собой однородный шар.

Решение.

Решение 2.

Объяснение явления

Ускорение свободного падения $\text{g}$, измеряемое динамометром на поверхности планеты, представляет собой эффективное ускорение. Оно является векторной суммой трех ускорений:
1. Гравитационного ускорения, создаваемого самой планетой ($\vec{g}_0$). Для однородного шара его модуль на поверхности постоянен и направлен к центру планеты.
2. Гравитационного ускорения, создаваемого Солнцем ($\vec{g}_C$). Его модуль и направление различны для разных точек на поверхности планеты, так как они находятся на разном расстоянии от Солнца.
3. Ускорения инерции ($\vec{a}_{in}$). Поскольку система отсчета, связанная с планетой, движется с ускорением вокруг Солнца, она является неинерциальной. Ускорение инерции равно по модулю и противоположно по направлению ускорению центра масс планеты ($\vec{a}_c$). Так как планета движется поступательно, все ее точки имеют одинаковое ускорение $\vec{a}_c$, а значит, и одинаковое ускорение инерции $\vec{a}_{in} = -\vec{a}_c$.

Эффективное ускорение свободного падения равно: $\vec{g} = \vec{g}_0 + \vec{g}_C + \vec{a}_{in}$.

Сумма ускорений, вызванных Солнцем, $\vec{a}_T = \vec{g}_C + \vec{a}_{in}$, называется приливным ускорением. Оно возникает из-за того, что гравитационное притяжение Солнца ($\vec{g}_C$) неоднородно по объему планеты, в то время как инерционная составляющая ($\vec{a}_{in}$) одинакова для всех точек. Эта разница и приводит к изменению измеряемого ускорения $\text{g}$ на поверхности.

В точках планеты, ближайшей к Солнцу (подсолнечной) и наиболее удаленной от него (противосолнечной), приливное ускорение направлено от центра планеты. В этих точках сила тяжести ослабляется, и ускорение свободного падения $\text{g}$ достигает своего минимального значения.

В точках на поверхности планеты, расположенных на окружности, плоскость которой перпендикулярна линии Солнце-планета (условный "пояс" между подсолнечной и противосолнечной точками), приливное ускорение направлено к центру планеты. Здесь оно усиливает собственную гравитацию планеты, и ускорение свободного падения $\text{g}$ достигает максимального значения.

Таким образом, именно приливное действие Солнца является причиной того, что ускорение свободного падения на этой планете не всюду одинаково.

Расчет, на сколько максимальное значение g на этой планете отличается от минимального

Дано:

Радиус планеты $r = 6400$ км

Радиус орбиты планеты $R = 150 \cdot 10^6$ км

Приведем данные к системе СИ:

$r = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R = 150 \cdot 10^6 \cdot 10^3 \text{ м} = 1.5 \cdot 10^{11} \text{ м}$

Найти:

$\Delta g = g_{max} - g_{min}$

Решение:

Как было показано в объяснении, разница в ускорении свободного падения вызвана приливными силами со стороны Солнца. Обозначим собственное ускорение свободного падения планеты как $g_0 = G\frac{M}{r^2}$, где $\text{M}$ - масса планеты.

В точках, наиболее близких и наиболее удаленных от Солнца, приливное ускорение направлено от центра планеты и уменьшает $g_0$. Здесь ускорение свободного падения минимально и равно:

$g_{min} = g_0 - 2G\frac{M_C r}{R^3}$

где $M_C$ — масса Солнца, $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

В точках, находящихся на равном удалении от подсолнечной и противосолнечной точек (на "боках" планеты относительно Солнца), приливное ускорение направлено к центру планеты и увеличивает $g_0$. Здесь ускорение свободного падения максимально и равно:

$g_{max} = g_0 + G\frac{M_C r}{R^3}$

Разница между максимальным и минимальным значениями ускорения свободного падения составляет:

$\Delta g = g_{max} - g_{min} = \left(g_0 + G\frac{M_C r}{R^3}\right) - \left(g_0 - 2G\frac{M_C r}{R^3}\right) = 3G\frac{M_C r}{R^3}$

Подставим числовые значения. Используем справочные данные для массы Солнца $M_C \approx 1.99 \cdot 10^{30}$ кг и гравитационной постоянной $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг².

$\Delta g = 3 \cdot (6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}) \cdot \frac{(1.99 \cdot 10^{30} \text{ кг}) \cdot (6.4 \cdot 10^6 \text{ м})}{(1.5 \cdot 10^{11} \text{ м})^3}$

$\Delta g = \frac{3 \cdot 6.67 \cdot 1.99 \cdot 6.4}{1.5^3} \cdot \frac{10^{-11} \cdot 10^{30} \cdot 10^6}{10^{33}} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{254.8}{3.375} \cdot 10^{-8} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 75.5 \cdot 10^{-8} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$\Delta g \approx 7.55 \cdot 10^{-7} \text{ м/с}^2$

Ответ: максимальное значение $\text{g}$ на этой планете отличается от минимального на $7.55 \cdot 10^{-7} \text{ м/с}^2$.