Номер 9.5, страница 49 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.5, страница 49.

Условие.

9.5*. Многие металлы имеют так называемую гране-центрированную кубическую решетку: ионы расположены в вершинах кубической ячейки и в центрах ее граней. Какова плотность $\rho$ металла, если его молярная масса равна $\text{M}$, а длина ребра кубической ячейки равна $\text{a}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Тип решетки: гранецентрированная кубическая (ГЦК)

Молярная масса металла: $\text{M}$

Длина ребра кубической ячейки: $\text{a}$

Найти:

Плотность металла: $\rho$

Решение:

Плотность вещества определяется как отношение массы к объему. Для кристаллической решетки удобно рассмотреть одну элементарную ячейку:

$\rho = \frac{m_{яч}}{V_{яч}}$,

где $m_{яч}$ – масса всех атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку, а $V_{яч}$ – объем одной элементарной ячейки.

Поскольку ячейка кубическая с длиной ребра $\text{a}$, ее объем равен:

$V_{яч} = a^3$

Теперь определим массу $m_{яч}$. В гранецентрированной кубической (ГЦК) решетке ионы (атомы) расположены в вершинах куба и в центрах каждой из его шести граней.

1. В вершинах куба находится 8 ионов. Каждый ион в вершине принадлежит одновременно 8 соседним ячейкам. Следовательно, вклад ионов из вершин в одну ячейку составляет $8 \cdot \frac{1}{8} = 1$ ион.

2. В центрах граней находится 6 ионов. Каждый ион в центре грани принадлежит одновременно 2 соседним ячейкам. Следовательно, вклад ионов из центров граней в одну ячейку составляет $6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ иона.

Таким образом, общее число ионов (атомов), приходящихся на одну элементарную ячейку ГЦК решетки, равно:

$n = 1 + 3 = 4$

Массу одного атома $m_0$ можно выразить через молярную массу $\text{M}$ и постоянную Авогадро $N_A$ (число атомов в одном моле вещества):

$m_0 = \frac{M}{N_A}$

Тогда масса всех атомов в одной элементарной ячейке будет:

$m_{яч} = n \cdot m_0 = 4 \frac{M}{N_A}$

Подставим выражения для массы и объема в формулу плотности:

$\rho = \frac{m_{яч}}{V_{яч}} = \frac{4 \frac{M}{N_A}}{a^3} = \frac{4M}{a^3 N_A}$

Ответ: $\rho = \frac{4M}{a^3 N_A}$