Номер 6.17, страница 36 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.17, страница 36.

Условие.

6.17*. Тело плотностью $\rho$ плавает на границе раздела двух жидкостей (см. рисунок) с плотностями $\rho_1$ и $\rho_2$. Какая часть объема тела погружена в нижнюю жидкость?

К задачам

6.16, 6.17

Решение.

Решение 2.

Дано:

Плотность тела: $\rho$

Плотность нижней жидкости: $\rho_1$

Плотность верхней жидкости: $\rho_2$

Объем тела, погруженный в нижнюю жидкость: $V_1$

Объем тела, погруженный в верхнюю жидкость: $V_2$

Полный объем тела: $\text{V}$

Найти:

Часть объема тела, погруженную в нижнюю жидкость, то есть отношение $\frac{V_1}{V}$.

Решение:

Тело плавает на границе раздела двух жидкостей, значит, оно находится в равновесии. Согласно условию плавания тел, сила тяжести, действующая на тело, уравновешивается суммарной выталкивающей силой (силой Архимеда), действующей на него со стороны обеих жидкостей.

Сила тяжести, действующая на тело, определяется по формуле:

$F_g = mg = \rho V g$

где $\text{m}$ - масса тела, $\text{V}$ - его полный объем, $\rho$ - его плотность, $\text{g}$ - ускорение свободного падения.

Суммарная выталкивающая сила $F_A$ складывается из двух сил: силы, действующей со стороны нижней жидкости на объем $V_1$, и силы, действующей со стороны верхней жидкости на объем $V_2$.

Выталкивающая сила со стороны нижней жидкости (с плотностью $\rho_1$):

$F_{A1} = \rho_1 g V_1$

Выталкивающая сила со стороны верхней жидкости (с плотностью $\rho_2$):

$F_{A2} = \rho_2 g V_2$

Таким образом, суммарная выталкивающая сила равна:

$F_A = F_{A1} + F_{A2} = \rho_1 g V_1 + \rho_2 g V_2$

Запишем условие равновесия $F_g = F_A$:

$\rho V g = \rho_1 g V_1 + \rho_2 g V_2$

Сократим обе части уравнения на $\text{g}$:

$\rho V = \rho_1 V_1 + \rho_2 V_2$

Полный объем тела $\text{V}$ является суммой объемов его частей, погруженных в каждую из жидкостей:

$V = V_1 + V_2$

Из этого соотношения выразим объем $V_2$:

$V_2 = V - V_1$

Подставим это выражение для $V_2$ в уравнение равновесия:

$\rho V = \rho_1 V_1 + \rho_2 (V - V_1)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$\rho V = \rho_1 V_1 + \rho_2 V - \rho_2 V_1$

Сгруппируем слагаемые: перенесем члены с объемом $\text{V}$ в левую часть, а члены с объемом $V_1$ оставим в правой:

$\rho V - \rho_2 V = \rho_1 V_1 - \rho_2 V_1$

Вынесем общие множители $\text{V}$ и $V_1$ за скобки:

$V(\rho - \rho_2) = V_1(\rho_1 - \rho_2)$

Из этого уравнения выразим искомое отношение $\frac{V_1}{V}$:

$\frac{V_1}{V} = \frac{\rho - \rho_2}{\rho_1 - \rho_2}$

Стоит отметить, что для плавания тела на границе раздела жидкостей необходимо, чтобы его плотность была больше плотности верхней жидкости, но меньше плотности нижней, то есть $\rho_2 < \rho < \rho_1$.

Ответ:

Часть объема тела, погруженная в нижнюю жидкость, равна $\frac{\rho - \rho_2}{\rho_1 - \rho_2}$.