Номер 6.5, страница 34 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.5, страница 34.

Условие.

6.5*. В колена открытой с двух сторон U-образной трубки налиты вода и спирт, разделенные ртутью (см. рисунок). Уровень ртути в обоих коленах одинаков. На высоте $h_0 = 24$ см от уровня ртути колена соединены горизонтальной трубкой с закрытым краном. Высота столба воды $h_1 = 40$ см. Какова высота столба спирта $h_2$? Какое движение возникнет в жидкости сразу после того, как откроют кран? В каком из колен ртуть установится на более высоком уровне?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Высота расположения крана от уровня ртути, $h_0 = 24$ см
Высота столба воды, $h_1 = 40$ см
Плотность воды (табличное значение), $\rho_1 \approx 1000 \text{ кг/м}^3$
Плотность спирта (табличное значение), $\rho_2 \approx 800 \text{ кг/м}^3$

$h_0 = 0.24 \text{ м}$
$h_1 = 0.4 \text{ м}$

Найти:

$h_2$ - ?
Какое движение возникнет в жидкости - ?
В каком колене ртуть установится на более высоком уровне - ?

Решение:

Какова высота столба спирта h₂?

Изначально, при закрытом кране, уровни ртути в обоих коленах одинаковы. Это означает, что гидростатическое давление столбов жидкостей над ртутью в обоих коленах одинаково. Так как трубка открыта, на свободные поверхности воды и спирта действует атмосферное давление $p_{атм}$.

Условие равенства давлений на уровне поверхности ртути:
$p_{атм} + \rho_1 g h_1 = p_{атм} + \rho_2 g h_2$
Сократив атмосферное давление и ускорение свободного падения $\text{g}$, получаем:
$\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$

Отсюда можем выразить и рассчитать высоту столба спирта $h_2$:
$h_2 = \frac{\rho_1 h_1}{\rho_2} = \frac{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.4 \text{ м}}{800 \text{ кг/м}^3} = 0.5 \text{ м} = 50 \text{ см}$.

Ответ: Высота столба спирта $h_2$ равна 50 см.

Какое движение возникнет в жидкости сразу после того, как откроют кран?

Чтобы определить направление движения, сравним давления на уровне соединительной трубки (на высоте $h_0$) в обоих коленах перед открытием крана.

Давление в левом колене на высоте $h_0$:
$p_{кран, левый} = p_{атм} + \rho_1 g (h_1 - h_0)$
$p_{кран, левый} = p_{атм} + 1000 \cdot g \cdot (0.4 - 0.24) = p_{атм} + 160g$.

Давление в правом колене на высоте $h_0$:
$p_{кран, правый} = p_{атм} + \rho_2 g (h_2 - h_0)$
$p_{кран, правый} = p_{атм} + 800 \cdot g \cdot (0.5 - 0.24) = p_{атм} + 208g$.

Поскольку $p_{кран, правый} > p_{кран, левый}$, сразу после открытия крана жидкость в соединительной трубке начнет двигаться из области большего давления в область меньшего, то есть справа налево (из колена со спиртом в колено с водой).

Теперь рассмотрим, что произойдет с ртутью. Когда кран открыт, давление на высоте $h_0$ стремится выровняться. Давление на уровне ртути в левом колене теперь можно представить как $p'_{левый} = p_{кран} + \rho_1 g h_0$, а в правом — $p'_{правый} = p_{кран} + \rho_2 g h_0$, где $p_{кран}$ — установившееся давление в соединительной трубке. Поскольку плотность воды больше плотности спирта ($\rho_1 > \rho_2$), то давление на уровне ртути в левом колене станет больше, чем в правом ($p'_{левый} > p'_{правый}$). Этот перепад давлений заставит ртуть перемещаться из левого колена в правое.

Таким образом, возникнет циркуляционное движение: вверху жидкость движется справа налево, а внизу ртуть движется слева направо.

Ответ: Сразу после открытия крана жидкость в соединительной трубке начнет течь из правого колена в левое, а ртуть в нижней части трубки начнет перемещаться из левого колена в правое.

В каком из колен ртуть установится на более высоком уровне?

Как было показано выше, после открытия крана давление на уровне ртути в левом колене становится больше, чем в правом. Это приводит к вытеснению ртути из левого колена в правое. Система будет стремиться к новому состоянию равновесия.

Перемещение ртути прекратится, когда избыточное давление столба ртути в правом колене скомпенсирует разность давлений, создаваемую столбами воды и спирта. Поскольку ртуть перетекает из левого колена в правое, ее уровень в левом колене опустится, а в правом — поднимется.

Следовательно, в новом положении равновесия уровень ртути будет выше в правом колене.

Ответ: Ртуть установится на более высоком уровне в правом колене (со спиртом).