Номер 5.49, страница 33 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.49, страница 33.

Условие.

5.49*. Однородная тонкая пластина имеет форму круга радиусом $\text{R}$, в котором вырезано круглое отверстие радиусом $R/2$ (см. рисунок). Где находится центр тяжести пластины?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус однородной тонкой пластины: $\text{R}$

Радиус вырезанного круглого отверстия: $r = R/2$

Отверстие касается края пластины.

Найти:

Положение центра тяжести пластины $x_c$.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся методом отрицательных масс. Пластину с отверстием можно представить как сплошную пластину радиусом $\text{R}$, из которой вычли (добавили с отрицательной массой) пластину радиусом $r = R/2$.

Введем систему координат. Пусть начало координат $(0,0)$ совпадает с центром большой пластины. Ось $\text{Ox}$ проведем через центр большой пластины и центр вырезанного отверстия. Из-за симметрии очевидно, что центр тяжести итоговой фигуры будет лежать на оси $\text{Ox}$, то есть его координата $y_c = 0$.

Координата центра тяжести системы тел находится по формуле:

$x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

где $m_1$ и $m_2$ — массы тел, а $x_1$ и $x_2$ — координаты их центров тяжести.

В нашем случае:

1. Сплошная пластина радиусом $\text{R}$. Обозначим ее массу $m_1$ и координату ее центра тяжести $x_1$.
Поскольку пластина однородная, ее масса пропорциональна площади: $m_1 = \sigma S_1 = \sigma \pi R^2$, где $\sigma$ — поверхностная плотность.
Центр тяжести сплошного круга находится в его геометрическом центре, поэтому $x_1 = 0$.

2. Вырезанная часть (отверстие) — это круг радиусом $r = R/2$. Мысленно вернем его на место, но с отрицательной массой $m_2$.
Его масса $m_2 = -\sigma S_2 = -\sigma \pi r^2 = -\sigma \pi (R/2)^2 = -\frac{\sigma \pi R^2}{4}$.
Центр этого круга, согласно рисунку, смещен от центра большого круга на расстояние, равное его радиусу, то есть $r = R/2$. Координата его центра тяжести $x_2 = R/2$.

Теперь подставим эти значения в формулу для координаты центра тяжести $x_c$:

$x_c = \frac{(\sigma \pi R^2) \cdot 0 + (-\frac{\sigma \pi R^2}{4}) \cdot \frac{R}{2}}{\sigma \pi R^2 + (-\frac{\sigma \pi R^2}{4})}$

Упростим выражение, сократив общий множитель $\sigma \pi R^2$:

$x_c = \frac{1 \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot \frac{R}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{-\frac{R}{8}}{\frac{3}{4}}$

$x_c = -\frac{R}{8} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{4R}{24} = -\frac{R}{6}$

Знак "минус" означает, что центр тяжести сместился от центра исходной пластины в сторону, противоположную вырезанному отверстию, на расстояние $R/6$.

Ответ: Центр тяжести пластины находится на расстоянии $R/6$ от центра исходного круга в сторону, противоположную вырезанному отверстию.