Номер 6.2, страница 34 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 6. Гидростатика и аэростатика - номер 6.2, страница 34.

Условие.

6.2*. В воду опущен сосуд, имеющий форму усеченного конуса. Дно сосуда приставное; оно отпадает, если в сосуд налить 200 г воды. Отпадет ли дно, если:

а) в его центр поставить гирю массой 200 г;

б) налить в сосуд 200 г бензина;

в) налить 200 г ртути?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$m_{воды} = 200 \text{ г}$

$m_{гири} = 200 \text{ г}$

$m_{бензина} = 200 \text{ г}$

$m_{ртути} = 200 \text{ г}$

Перевод в СИ:

$m_{воды} = 0.2 \text{ кг}$

$m_{гири} = 0.2 \text{ кг}$

$m_{бензина} = 0.2 \text{ кг}$

$m_{ртути} = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

Отпадет ли дно сосуда в случаях а), б) и в)?

Решение:

Дно сосуда отпадает, когда сила давления, действующая на него, достигает некоторого критического значения $F_{крит}$. По условию задачи, это происходит, когда в сосуд наливают 200 г воды. Следовательно, критическая сила равна силе давления, создаваемой этим количеством воды.

Сила давления жидкости на дно сосуда площадью $\text{S}$ определяется формулой: $F = P \cdot S = \rho \cdot g \cdot h \cdot S$, где $\text{P}$ – гидростатическое давление на дно, $\rho$ – плотность жидкости, $\text{g}$ – ускорение свободного падения, $\text{h}$ – высота столба жидкости.

Таким образом, $F_{крит} = F_{воды} = \rho_{воды} \cdot g \cdot h_{воды} \cdot S$, где $\rho_{воды}$ и $h_{воды}$ – плотность и высота столба воды массой 200 г в данном сосуде.

Сосуд имеет форму усеченного конуса. Будем считать, что он, как большинство сосудов, расширяется кверху. В этом случае объем жидкости $\text{V}$ высотой $\text{h}$ больше, чем объем цилиндра с такой же площадью основания $\text{S}$ и высотой $\text{h}$. То есть, $V > S \cdot h$.

Вес жидкости равен $W = m \cdot g = \rho \cdot g \cdot V$. Сравнивая силу давления на дно $\text{F}$ и вес жидкости $\text{W}$, получаем:

$F = \rho g h S < \rho g V = W$

Это означает, что для сосуда, расширяющегося кверху, сила давления жидкости на дно меньше ее веса.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) в его центр поставить гирю массой 200 г;

Гиря давит на дно силой, равной своему весу: $F_{гири} = W_{гири} = m_{гири} \cdot g$.

Критическая сила, при которой отпадает дно, равна силе давления 200 г воды: $F_{крит} = F_{воды}$.

Как мы установили, сила давления воды на дно меньше ее веса: $F_{воды} < W_{воды} = m_{воды} \cdot g$.

Поскольку массы гири и воды одинаковы ($m_{гири} = m_{воды} = 200 \text{ г}$), их веса также равны: $W_{гири} = W_{воды}$.

Сравниваем силу, действующую на дно от гири, с критической силой:

$F_{гири} = W_{гири} = W_{воды} > F_{воды} = F_{крит}$

Сила давления гири больше критической силы, поэтому дно отпадет.

Ответ: Дно отпадет.

б) налить в сосуд 200 г бензина;

Нам нужно сравнить силу давления бензина $F_{бензина}$ с критической силой $F_{крит} = F_{воды}$.

$F_{бензина} = \rho_{бензина} \cdot g \cdot h_{бензина} \cdot S$

$F_{воды} = \rho_{воды} \cdot g \cdot h_{воды} \cdot S$

Плотность бензина меньше плотности воды: $\rho_{бензина} < \rho_{воды}$.

Поскольку массы жидкостей одинаковы ($m_{бензина} = m_{воды}$), объем бензина будет больше объема воды: $V_{бензина} = \frac{m_{бензина}}{\rho_{бензина}} > \frac{m_{воды}}{\rho_{воды}} = V_{воды}$.

Так как сосуд расширяется кверху, больший объем займет большую высоту: $h_{бензина} > h_{воды}$.

Силу давления можно выразить через массу: $F = \rho g h S = \frac{m}{V} g h S = m g S \frac{h}{V(h)}$. Так как масса $\text{m}$ в обоих случаях одинакова, сила давления на дно пропорциональна величине $K(h) = \frac{h}{V(h)}$. Для сосуда, расширяющегося кверху, объем $V(h)$ растет с высотой быстрее, чем линейно, поэтому отношение $K(h) = \frac{h}{V(h)}$ является убывающей функцией от $\text{h}$.

Поскольку $h_{бензина} > h_{воды}$, то $K(h_{бензина}) < K(h_{воды})$.

Следовательно, $F_{бензина} < F_{воды} = F_{крит}$.

Сила давления бензина будет меньше критической, и дно не отпадет.

Ответ: Дно не отпадет.

в) налить 200 г ртути?

Аналогично случаю б) сравним силу давления ртути $F_{ртути}$ с критической силой $F_{крит} = F_{воды}$.

$F_{ртути} = \rho_{ртути} \cdot g \cdot h_{ртути} \cdot S$

Плотность ртути значительно больше плотности воды: $\rho_{ртути} > \rho_{воды}$.

При одинаковой массе ($m_{ртути} = m_{воды}$) объем ртути будет меньше объема воды: $V_{ртути} = \frac{m_{ртути}}{\rho_{ртути}} < \frac{m_{воды}}{\rho_{воды}} = V_{воды}$.

Соответственно, высота столба ртути будет меньше высоты столба воды: $h_{ртути} < h_{воды}$.

Используем тот же подход: сила давления $\text{F}$ пропорциональна $K(h) = \frac{h}{V(h)}$, которая является убывающей функцией.

Поскольку $h_{ртути} < h_{воды}$, то $K(h_{ртути}) > K(h_{воды})$.

Следовательно, $F_{ртути} > F_{воды} = F_{крит}$.

Сила давления ртути превысит критическое значение, и дно отпадет.

Ответ: Дно отпадет.