Номер 5.46, страница 33 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.46, страница 33.

Условие.

5.46*. Десять шариков с массами 100 г, 200 г, 300 г, ..., 1000 г укреплены в указанном порядке на невесомом стержне длиной 90 см так, что расстояние между центрами соседних шариков равно 10 см. Найдите положение центра масс системы.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Количество шариков, $N = 10$.

Массы шариков: $m_1 = 100$ г, $m_2 = 200$ г, ..., $m_{10} = 1000$ г.

В общем виде, масса i-го шарика: $m_i = i \cdot 100$ г, где $i = 1, 2, ..., 10$.

Расстояние между центрами соседних шариков, $d = 10$ см.

$m_1 = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

$m_2 = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

...

$m_{10} = 1000 \text{ г} = 1.0 \text{ кг}$

$d = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Положение центра масс системы $x_{цм}$.

Решение:

Для решения задачи выберем одномерную систему координат. Расположим ось $\text{Ox}$ вдоль невесомого стержня, на котором укреплены шарики. Начало координат ($x=0$) совместим с центром первого шарика, масса которого $m_1 = 100$ г.

В этой системе координат положение (координата) центра каждого шарика будет определяться следующим образом:

Координата i-го шарика: $x_i = (i-1) \cdot d$.

Таким образом, координаты шариков:

$x_1 = (1-1) \cdot 10 \text{ см} = 0 \text{ см}$

$x_2 = (2-1) \cdot 10 \text{ см} = 10 \text{ см}$

$x_3 = (3-1) \cdot 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$

...

$x_{10} = (10-1) \cdot 10 \text{ см} = 90 \text{ см}$

Положение центра масс системы материальных точек на прямой определяется по формуле:

$x_{цм} = \frac{\sum_{i=1}^{N} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{N} m_i}$

Сначала найдем знаменатель – общую массу системы $M = \sum_{i=1}^{10} m_i$:

$M = 100 \text{ г} + 200 \text{ г} + ... + 1000 \text{ г} = 100 \cdot (1+2+...+10) \text{ г}$

Сумма первых десяти натуральных чисел является суммой арифметической прогрессии и равна: $S_{10} = \frac{10(1+10)}{2} = 55$.

$M = 100 \cdot 55 = 5500 \text{ г} = 5.5 \text{ кг}$.

Теперь найдем числитель – сумму произведений масс на их координаты $\sum_{i=1}^{10} m_i x_i$:

$\sum_{i=1}^{10} m_i x_i = m_1x_1 + m_2x_2 + ... + m_{10}x_{10}$

Подставим выражения для $m_i$ и $x_i$:

$\sum_{i=1}^{10} m_i x_i = \sum_{i=1}^{10} (i \cdot 100 \text{ г}) \cdot ((i-1) \cdot 10 \text{ см}) = 1000 \sum_{i=1}^{10} i(i-1) \text{ г} \cdot \text{см}$

Вычислим сумму $\sum_{i=1}^{10} i(i-1) = \sum_{i=1}^{10} (i^2-i) = \sum_{i=1}^{10} i^2 - \sum_{i=1}^{10} i$.

Мы уже знаем, что $\sum_{i=1}^{10} i = 55$.

Для суммы квадратов используем формулу $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$:

$\sum_{i=1}^{10} i^2 = \frac{10(10+1)(2 \cdot 10+1)}{6} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385$.

Тогда $\sum_{i=1}^{10} i(i-1) = 385 - 55 = 330$.

Числитель равен $1000 \cdot 330 = 330000 \text{ г} \cdot \text{см}$.

Теперь можем найти координату центра масс:

$x_{цм} = \frac{330000 \text{ г} \cdot \text{см}}{5500 \text{ г}} = \frac{3300}{55} \text{ см} = 60 \text{ см}$.

Координата $x = 60$ см совпадает с положением седьмого шарика (массой 700 г), так как его координата $x_7 = (7-1) \cdot 10 \text{ см} = 60 \text{ см}$.

Ответ: Центр масс системы находится на расстоянии 60 см от центра первого шарика (массой 100 г), то есть в центре седьмого шарика (массой 700 г).