Номер 5.43, страница 33 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.43, страница 33.

Условие.

5.43. В вершинах треугольника помещены шарики равной массы. Найдите положение центра тяжести системы.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$m_1 = m_2 = m_3 = m$ — массы шариков, где $\text{m}$ - некоторое значение массы.
$\vec{r_1}, \vec{r_2}, \vec{r_3}$ — радиус-векторы вершин треугольника, в которых расположены шарики.

Найти:

$\vec{r_c}$ — положение (радиус-вектор) центра тяжести системы.

Решение:

Центр тяжести системы материальных точек в однородном поле силы тяжести совпадает с центром масс системы. Радиус-вектор центра масс $\vec{r_c}$ для системы из $\text{n}$ материальных точек определяется по формуле:

$\vec{r_c} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r_i}}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$

Для данной системы из трех шариков ($n=3$) формула принимает вид:

$\vec{r_c} = \frac{m_1 \vec{r_1} + m_2 \vec{r_2} + m_3 \vec{r_3}}{m_1 + m_2 + m_3}$

Согласно условию задачи, массы всех трех шариков равны: $m_1 = m_2 = m_3 = m$. Подставим это значение в формулу для центра масс:

$\vec{r_c} = \frac{m \vec{r_1} + m \vec{r_2} + m \vec{r_3}}{m + m + m} = \frac{m(\vec{r_1} + \vec{r_2} + \vec{r_3})}{3m}$

Сократив массу $\text{m}$ в числителе и знаменателе, получим выражение для радиус-вектора центра тяжести:

$\vec{r_c} = \frac{\vec{r_1} + \vec{r_2} + \vec{r_3}}{3}$

Полученное выражение является радиус-вектором точки, координаты которой равны среднему арифметическому соответствующих координат вершин треугольника. В геометрии эта точка называется центроидом треугольника и является точкой пересечения его медиан.

Таким образом, центр тяжести данной системы шариков находится в точке пересечения медиан треугольника, в вершинах которого они расположены.

Ответ: Центр тяжести системы находится в точке пересечения медиан треугольника.