Номер 5.37, страница 32 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.37, страница 32.

Условие.

5.37. На плоскости стоит однородный цилиндр радиусом $\text{R}$ и высотой $\text{h}$. Если медленно наклонять плоскость, то в какой-то момент цилиндр может опрокинуться. При каком коэффициенте трения $\mu$ и каком угле наклона $\alpha$ это возможно?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус однородного цилиндра: $ R $

Высота однородного цилиндра: $ h $

Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью: $ \mu $

Найти:

Условия на коэффициент трения $ \mu $ и угол наклона $ \alpha $, при которых возможно опрокидывание цилиндра.

Решение:

При медленном увеличении угла наклона плоскости $ \alpha $ цилиндр, стоящий на ней, может либо начать скользить, либо опрокинуться. Рассмотрим условия для каждого из этих событий.

Сначала определим условие, при котором цилиндр начнет скользить. На цилиндр действуют сила тяжести $ mg $, сила нормальной реакции опоры $ N $ и сила трения покоя $ F_{тр} $. Запишем условия равновесия в проекциях на оси, направленные параллельно и перпендикулярно наклонной плоскости:

$ N = mg \cos \alpha $

$ F_{тр} = mg \sin \alpha $

Скольжение начнется в тот момент, когда сила трения, необходимая для удержания цилиндра, достигнет своего максимального значения $ F_{тр, max} = \mu N $. Угол $ \alpha_s $, при котором это произойдет, находится из условия:

$ mg \sin \alpha_s = \mu mg \cos \alpha_s $

Отсюда находим тангенс угла начала скольжения:

$ \tan \alpha_s = \mu $

Теперь определим условие опрокидывания. Опрокидывание происходит относительно нижнего края основания цилиндра. Это случится, когда вертикальная линия, проходящая через центр масс цилиндра, выйдет за пределы его основания. Поскольку цилиндр однородный, его центр масс находится на высоте $ h/2 $ от основания на его оси симметрии. Из геометрических соображений (рассмотрения прямоугольного треугольника с катетами $ R $ и $ h/2 $) следует, что предельный угол наклона $ \alpha_t $, при котором начинается опрокидывание, определяется соотношением:

$ \tan \alpha_t = \frac{R}{h/2} = \frac{2R}{h} $

Для того чтобы цилиндр опрокинулся, а не соскользнул, необходимо, чтобы угол опрокидывания был достигнут раньше или одновременно с углом скольжения. Математически это означает, что $ \alpha_t \le \alpha_s $. Поскольку функция тангенса является строго возрастающей на интервале $ (0, \pi/2) $, это условие эквивалентно следующему неравенству для тангенсов углов:

$ \tan \alpha_t \le \tan \alpha_s $

Подставив полученные ранее выражения, мы найдем условие, которому должен удовлетворять коэффициент трения, чтобы опрокидывание было возможно:

$ \frac{2R}{h} \le \mu $

Если это условие выполняется, то при увеличении угла наклона плоскости цилиндр будет оставаться в покое до тех пор, пока угол не достигнет значения $ \alpha = \alpha_t $, после чего начнется опрокидывание.

Ответ: Опрокидывание цилиндра возможно, если коэффициент трения удовлетворяет условию $ \mu \ge \frac{2R}{h} $. При выполнении этого условия опрокидывание произойдет при угле наклона плоскости $ \alpha = \arctan\left(\frac{2R}{h}\right) $.