Номер 5.30, страница 31 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.30, страница 31.

Условие.

5.30*. На земле лежат вплотную друг к другу два одинаковых бревна цилиндрической формы. Сверху между ними кладут такое же бревно. При каком коэффициенте трения $\mu$ между бревнами они не раскатятся? По земле бревна не скользят.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Три одинаковых бревна цилиндрической формы.

Два бревна лежат на земле вплотную друг к другу.

Третье бревно лежит сверху между ними.

Коэффициент трения между бревнами - $ \mu $.

Бревна не скользят по земле.

Найти:

Условие на коэффициент трения $ \mu $, при котором бревна не раскатятся.

Решение:

Рассмотрим поперечное сечение бревен. Их центры $ C_1, C_2, C_3 $ образуют равносторонний треугольник со стороной $ 2R $, где $ R $ - радиус каждого бревна. Линия, соединяющая центр верхнего бревна ($ C_3 $) с центром любого из нижних (например, $ C_1 $), составляет угол $ \alpha = 60^\circ $ с горизонталью.

Рассмотрим условие равновесия для верхнего бревна. На него действуют сила тяжести $ mg $, направленная вертикально вниз, и две силы реакции со стороны нижних бревен. Каждая сила реакции состоит из нормальной составляющей $ N $, направленной вдоль линии центров, и силы трения $ F_{fr} $, направленной по касательной. Так как верхнее бревно стремится соскользнуть вниз, сила трения на нем направлена вверх вдоль поверхности нижних бревен. В силу симметрии, силы, действующие со стороны левого и правого нижних бревен, одинаковы по величине.

Запишем уравнение равновесия для верхнего бревна в проекции на вертикальную ось Y:

$ \sum F_y = N \sin(60^\circ) + N \sin(60^\circ) + F_{fr} \cos(60^\circ) + F_{fr} \cos(60^\circ) - mg = 0 $

$ 2N\frac{\sqrt{3}}{2} + 2F_{fr}\frac{1}{2} = mg $

$ N\sqrt{3} + F_{fr} = mg $ (1)

Теперь рассмотрим условие равновесия для одного из нижних бревен, например, левого. На него действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила со стороны правого нижнего бревна и сила со стороны верхнего бревна. По третьему закону Ньютона, верхнее бревно действует на нижнее с силами, равными по модулю и противоположными по направлению силам реакции.

Нормальная сила $ N $ со стороны верхнего бревна будет давить на нижнее бревно, создавая расталкивающую горизонтальную силу, направленную влево: $ N_x = N \cos(60^\circ) $. Сила трения $ F_{fr} $ будет "удерживать" нижнее бревно, создавая горизонтальную силу, направленную вправо: $ F_{fr,x} = F_{fr} \sin(60^\circ) $.Нет, давайте аккуратнее с углами.Сила N на нижнее левое бревно направлена вниз и влево, под углом $ -120^\circ $ или $ 240^\circ $ к горизонтали. Ее горизонтальная проекция: $ N_x = N \cos(240^\circ) = -N/2 $.Сила трения $ F_{fr} $ на нижнее левое бревно направлена вниз и вправо, по касательной. Касательная в точке контакта перпендикулярна линии центров ($ 60^\circ $), т.е. составляет угол $ -30^\circ $ или $ 330^\circ $ с горизонталью. Ее горизонтальная проекция: $ F_{fr,x} = F_{fr} \cos(-30^\circ) = F_{fr}\sqrt{3}/2 $.

Суммарная горизонтальная сила со стороны верхнего бревна, действующая на левое нижнее, равна $ F_{top,x} = -N/2 + F_{fr}\sqrt{3}/2 $. Знак минус означает, что результирующая сила может быть направлена влево (расталкивать). Чтобы бревно не скользило по земле, эта сила должна уравновешиваться силой трения о землю $ F_{g,fr} $, направленной вправо:$ F_{g,fr} = N/2 - F_{fr}\sqrt{3}/2 $ (2)

Чтобы бревна не раскатывались, необходимо также равновесие моментов сил. Рассмотрим моменты сил относительно центра нижнего левого бревна. Сила трения о землю $ F_{g,fr} $ создает момент $ \tau_g = F_{g,fr} R $, стремящийся повернуть бревно против часовой стрелки. Сила трения от верхнего бревна $ F_{fr} $, будучи приложенной к поверхности, создает момент $ \tau_{fr} = -F_{fr} R $, стремящийся повернуть бревно по часовой стрелке. Для равновесия необходимо, чтобы сумма моментов была равна нулю:

$ \sum \tau = F_{g,fr} R - F_{fr} R = 0 $

$ F_{g,fr} = F_{fr} $ (3)

Теперь мы имеем систему из уравнений. Подставим (3) в (2):

$ F_{fr} = N/2 - F_{fr}\sqrt{3}/2 $

$ F_{fr} (1 + \sqrt{3}/2) = N/2 $

$ F_{fr} \frac{2+\sqrt{3}}{2} = N/2 $

$ F_{fr} = \frac{N}{2+\sqrt{3}} $

Это требуемая сила трения для сохранения равновесия. Она не может превышать максимальную силу трения покоя, которая определяется коэффициентом трения $ \mu $: $ F_{fr} \le \mu N $.Бревна не раскатятся, если это условие выполняется. Предельный случай, при котором они вот-вот начнут раскатываться, соответствует $ F_{fr} = \mu N $.

$ \mu N = \frac{N}{2+\sqrt{3}} $

Отсюда находим минимальное значение коэффициента трения:

$ \mu = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2 - \sqrt{3} $

Таким образом, для того чтобы бревна не раскатились, коэффициент трения между ними должен быть не меньше этого значения.

Ответ: $ \mu \ge 2 - \sqrt{3} \approx 0.268 $.