Номер 5.27, страница 30 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.27, страница 30.

Условие.

5.27. Рычаг изогнут, как показано на рисунке, причем $AB = BC = CD$. Ось рычага проходит через точку $\text{B}$. В точке $\text{A}$ приложена сила $\text{F}$ перпендикулярно $\text{AB}$. Какую наименьшую силу нужно приложить в точке $\text{D}$, чтобы рычаг находился в равновесии? Изменится ли ответ, если ось рычага будет проходить через точку $\text{C}$? Массой рычага можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи воспользуемся правилом моментов: рычаг находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к нему сил относительно оси вращения равна нулю. Момент силы $\text{M}$ равен произведению модуля силы $\text{F}$ на её плечо $\text{l}$: $M = F \cdot l$. Обозначим длину равных отрезков рычага $AB = BC = CD = l$.

Какую наименьшую силу нужно приложить в точке D, чтобы рычаг находился в равновесии?

Согласно условию, в первой части задачи ось рычага проходит через точку B.

Дано:

$AB = BC = CD = l$
Ось вращения в точке B
Сила $\text{F}$ в точке A, $F \perp AB$

Найти:

$F_{D, min}$ - наименьшую силу в точке D для равновесия.

Решение:
Сила $\text{F}$, приложенная в точке A, создает вращающий момент $M_F$ относительно оси B. Плечо этой силы $l_F$ равно длине отрезка AB, так как сила перпендикулярна ему.
$M_F = F \cdot l_F = F \cdot l$
Этот момент должен быть уравновешен моментом $M_D$, создаваемым силой $F_D$, приложенной в точке D.
$M_D = F_D \cdot l_D$
Из условия равновесия $M_F = M_D$, следует $F \cdot l = F_D \cdot l_D$.
Чтобы прикладываемая сила $F_D$ была наименьшей ($F_{D, min}$), ее плечо $l_D$ должно быть наибольшим. Максимально возможное плечо для силы, приложенной в точке D, равно расстоянию от оси вращения B до точки D.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD (угол при вершине C - прямой). По теореме Пифагора найдем расстояние BD:
$l_{D, max} = BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{l^2 + l^2} = \sqrt{2l^2} = l\sqrt{2}$
Это максимальное плечо достигается, когда сила $F_{D, min}$ перпендикулярна отрезку BD.
Подставим максимальное плечо в уравнение равновесия:
$F \cdot l = F_{D, min} \cdot l_{D, max} = F_{D, min} \cdot (l\sqrt{2})$
Отсюда выражаем $F_{D, min}$:
$F_{D, min} = \frac{F \cdot l}{l\sqrt{2}} = \frac{F}{\sqrt{2}}$

Ответ: Наименьшая сила, которую нужно приложить в точке D, равна $F_{D, min} = \frac{F}{\sqrt{2}}$.

Изменится ли ответ, если ось рычага будет проходить через точку C?

Дано:

$AB = BC = CD = l$
Ось вращения в точке C
Сила $\text{F}$ в точке A, $F \perp AB$

Найти:

$F'_{D, min}$ - наименьшую силу в точке D для равновесия, и сравнить с предыдущим результатом.

Решение:
Теперь ось вращения находится в точке C. Рассмотрим моменты сил относительно этой новой оси.
Момент силы $\text{F}$, приложенной в точке A, равен $M'_F = F \cdot l'_F$. Плечо силы $l'_F$ - это перпендикулярное расстояние от оси C до линии действия силы $\text{F}$. Линия действия силы $\text{F}$ является вертикальной прямой, проходящей через точку A. Расстояние от точки C до этой прямой равно длине горизонтального отрезка CD (или AB), то есть $\text{l}$.
$M'_F = F \cdot l$
Для нахождения наименьшей уравновешивающей силы $F'_{D, min}$ в точке D, нужно снова максимизировать ее плечо $l'_D$. Максимальное плечо равно расстоянию от оси C до точки D.
$l'_{D, max} = CD = l$
Это плечо достигается, когда сила $F'_{D, min}$ перпендикулярна отрезку CD.
Запишем уравнение равновесия моментов:
$M'_F = M'_D$
$F \cdot l = F'_{D, min} \cdot l'_{D, max}$
$F \cdot l = F'_{D, min} \cdot l$
Отсюда находим $F'_{D, min}$:
$F'_{D, min} = F$
Сравнивая результаты для двух случаев ($F_{D, min} = \frac{F}{\sqrt{2}}$ и $F'_{D, min} = F$), видим, что они различны.

Ответ: Да, ответ изменится. Если ось рычага будет проходить через точку C, наименьшая сила, которую нужно приложить в точке D для равновесия, будет равна $\text{F}$.