Номер 5.29, страница 31 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.29, страница 31.

Условие.

5.29. Колесо радиусом $\text{R}$ и массой $\text{m}$ стоит перед ступенькой высотой $h < R$. Какой наименьшей силой $\text{F}$, приложенной к оси колеса, можно вкатить его на ступеньку? Как должна быть направлена эта сила?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус колеса: $\text{R}$

Масса колеса: $\text{m}$

Высота ступеньки: $\text{h}$ ($h < R$)

Найти:

Наименьшая сила для вкатывания колеса: $F_{min}$

Направление этой силы: угол $\alpha$ к горизонту

Решение:

Для того чтобы колесо начало вкатываться на ступеньку, необходимо приложить такую силу $\text{F}$, чтобы ее вращающий момент относительно точки опоры (края ступеньки, точка P) был как минимум равен моменту силы тяжести, который препятствует вращению.

В предельном случае, когда колесо начинает отрываться от земли, оно опирается только на край ступеньки P. Этот край является осью вращения. На колесо действуют две силы, создающие моменты относительно точки P: сила тяжести $\text{mg}$, приложенная к центру колеса O, и внешняя сила $\text{F}$, также приложенная к центру O.

Рассмотрим геометрию системы в момент, когда колесо касается края ступеньки P. Центр колеса O, край ступеньки P и точка D (проекция точки P на вертикальную ось, проходящую через O) образуют прямоугольный треугольник ODP.
Гипотенуза этого треугольника – расстояние от центра до точки опоры $\text{OP}$ – равна радиусу колеса $\text{R}$.
Один катет – это вертикальное расстояние от центра O до уровня ступеньки, $OD = R - h$.
Второй катет – это горизонтальное расстояние от центра O до края ступеньки P, $PD = d$.
По теореме Пифагора:

$d^2 + (R-h)^2 = R^2$

$d^2 = R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2) = 2Rh - h^2$

$d = \sqrt{2Rh - h^2}$

Сила тяжести $\text{mg}$ направлена вертикально вниз. Ее плечо относительно точки P равно горизонтальному расстоянию $\text{d}$. Момент силы тяжести $M_g$ препятствует вкатыванию (создает вращение по часовой стрелке):

$M_g = mg \cdot d = mg\sqrt{2Rh - h^2}$

Приложенная сила $\text{F}$ создает вращающий момент $M_F$, который должен преодолеть момент силы тяжести (создать вращение против часовой стрелки). Величина этого момента равна $M_F = F \cdot l_F$, где $l_F$ – плечо силы $\text{F}$ относительно точки P.

Условие начала вкатывания:

$M_F \ge M_g$

$F \cdot l_F \ge mg\sqrt{2Rh - h^2}$

Чтобы найти наименьшую силу $F_{min}$, необходимо, чтобы ее плечо $l_F$ было максимальным. Максимальное возможное плечо для силы, приложенной в точке O, относительно точки P равно расстоянию $OP = R$. Это достигается, когда сила $\text{F}$ перпендикулярна отрезку $\text{PO}$.

Приравняем моменты для нахождения минимальной силы:

$F_{min} \cdot R = mg\sqrt{2Rh - h^2}$

Отсюда находим величину наименьшей силы:

$F_{min} = \frac{mg}{R}\sqrt{2Rh - h^2}$

Теперь определим направление этой силы. Как мы выяснили, сила $F_{min}$ должна быть перпендикулярна радиусу $\text{PO}$. Найдем угол $\alpha$, который эта сила составляет с горизонталью.

Пусть $\theta$ – угол, который образует отрезок $\text{PO}$ с вертикалью $\text{OD}$. Из треугольника ODP:

$\cos\theta = \frac{OD}{OP} = \frac{R-h}{R}$

$\sin\theta = \frac{PD}{OP} = \frac{d}{R} = \frac{\sqrt{2Rh-h^2}}{R}$

Поскольку сила $F_{min}$ перпендикулярна $\text{PO}$, а $\text{PO}$ составляет угол $\theta$ с вертикалью, то сила $F_{min}$ будет составлять угол $\theta$ с горизонталью (так как угол между двумя линиями равен углу между их перпендикулярами). Сила должна быть направлена вверх и вперед, чтобы создавать вращение против часовой стрелки.

Таким образом, угол $\alpha$ силы $F_{min}$ с горизонтом равен $\theta$.

$\cos\alpha = \cos\theta = \frac{R-h}{R}$

$\sin\alpha = \sin\theta = \frac{\sqrt{2Rh-h^2}}{R}$

Ответ:

Наименьшая сила, которой можно вкатить колесо на ступеньку, равна $F_{min} = \frac{mg}{R}\sqrt{2Rh-h^2}$.
Эта сила должна быть направлена под углом $\alpha$ к горизонту, косинус которого $\cos\alpha = \frac{R-h}{R}$ (или синус $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2Rh-h^2}}{R}$). Геометрически это означает, что вектор силы должен быть перпендикулярен радиусу, проведенному из центра колеса к краю ступеньки.