Номер 5.24, страница 30 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.24, страница 30.

Условие.

5.24*. Гладкий невесомый стержень AC длиной 1 м вставлен с малым зазором под углом $ \alpha = 30^\circ $ к горизонту в вертикальную стену (см. рисунок). К концу C стержня подвешен груз весом $ P = 100 \text{ Н} $. Каковы силы реакции боковых стенок отверстия в точках A и B? С какой силой сжат стержень? Расстояние AB равно 0,2 м.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$L = 1$ м

$\alpha = 30^\circ$

$P = 100$ Н

$AB = d = 0,2$ м

Стержень невесомый и гладкий.

Найти:

$N_A, N_B$ - силы реакции стенок в точках А и В.

$F_{сж}$ - сила сжатия стержня.

Решение:

Рассмотрим условия равновесия стержня. На стержень действуют следующие силы:

1. Сила тяжести груза $\vec{P}$, приложенная в точке C и направленная вертикально вниз.

2. Силы реакции $\vec{N}_A$ и $\vec{N}_B$ со стороны боковых стенок отверстия в точках A и B. Так как стержень гладкий и вставлен в вертикальную стену, эти силы перпендикулярны стенкам, то есть направлены горизонтально. Груз стремится повернуть стержень по часовой стрелке, поэтому стержень упирается в левую стенку отверстия в точке B и в правую стенку в точке A. Следовательно, сила $\vec{N}_B$ направлена вправо, а сила $\vec{N}_A$ – влево.

3. Для того чтобы система находилась в равновесии, сумма всех вертикальных сил должна быть равна нулю. Сила $\vec{P}$ направлена вниз, значит, должна существовать вертикальная сила, направленная вверх. Эта сила реакции со стороны опоры (например, нижнего края отверстия) в точке А, обозначим ее $\vec{V}_A$.

Запишем условия равновесия для стержня. Выберем систему координат: ось Ox горизонтально вправо, ось Oy вертикально вверх.

1. Условие равенства нулю суммы проекций всех сил на ось Ox:

$\sum F_x = N_B - N_A = 0 \implies N_A = N_B$

2. Условие равенства нулю суммы проекций всех сил на ось Oy:

$\sum F_y = V_A - P = 0 \implies V_A = P = 100$ Н

3. Условие равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки A:

$\sum M_A = 0$

Момент силы $\vec{N}_B$ создает вращение против часовой стрелки (положительный), а момент силы $\vec{P}$ - по часовой стрелке (отрицательный). Силы $\vec{N}_A$ и $\vec{V}_A$ приложены в точке A, их моменты равны нулю.

$M_{N_B} - M_P = 0$

Плечо силы $\vec{N}_B$ равно вертикальному расстоянию между точками A и B: $l_B = d \cdot \sin{\alpha}$.

Плечо силы $\vec{P}$ равно горизонтальному расстоянию от точки A до точки C: $l_P = L \cdot \cos{\alpha}$.

Тогда уравнение моментов примет вид:

$N_B \cdot (d \sin{\alpha}) - P \cdot (L \cos{\alpha}) = 0$

Каковы силы реакции боковых стенок отверстия в точках А и В?

Из уравнения моментов выразим силу $N_B$:

$N_B = \frac{P \cdot L \cos{\alpha}}{d \sin{\alpha}} = \frac{PL}{d} \cot{\alpha}$

Подставим числовые значения:

$N_B = \frac{100 \text{ Н} \cdot 1 \text{ м}}{0,2 \text{ м}} \cdot \cot{30^\circ} = 500 \cdot \sqrt{3} \text{ Н} \approx 866$ Н.

Так как $N_A = N_B$, то $N_A = 500\sqrt{3}$ Н.

Ответ: Силы реакции боковых стенок равны $N_A = N_B = 500\sqrt{3}$ Н (приблизительно 866 Н).

С какой силой сжат стержень?

Сила сжатия (или растяжения) является внутренней силой и может быть разной в разных сечениях стержня. Чтобы найти ее, нужно рассмотреть равновесие части стержня.

Рассмотрим верхнюю часть стержня от точки C до произвольного сечения в промежутке BC. На эту часть действует внешняя сила $\vec{P}$. Сила сжатия в сечении $F_{сж}$ уравновешивает проекцию силы $\vec{P}$ на ось стержня.

Проекция силы $\vec{P}$ на направление стержня равна:

$P_{\parallel} = P \sin{\alpha}$

Эта компонента направлена вдоль стержня от C к A и вызывает его сжатие. Таким образом, на участке BC стержень сжат с силой:

$F_{сж, BC} = P \sin{\alpha} = 100 \text{ Н} \cdot \sin{30^\circ} = 100 \cdot 0,5 = 50$ Н.

На участке AB axial force changes. The force $N_B$ adds a tensile component $N_B \cos\alpha$. The total axial force in section AB is $F_{axial, AB} = N_B \cos\alpha - P \sin\alpha = 500\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3}/2) - 50 = 750 - 50 = 700$ Н. This is a tensile force.The question "С какой силой сжат стержень?" implies finding the compression force. The only part of the rod that is compressed is the segment BC.

Ответ: Стержень сжат на участке BC с силой 50 Н.