Номер 5.26, страница 30 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.26, страница 30.

Условие.

5.26*. Два невесомых стержня $\text{AB}$ и $\text{BC}$ соединены шарнирно между собой и с вертикальной стеной (см. рисунок); угол между стержнями равен $\alpha$. К середине стержня $\text{AB}$ подвешен груз массой $\text{m}$. Каковы силы $F_A$ и $F_B$ давления стержня $\text{AB}$ на шарниры A и B?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Стержни AB, BC – невесомые

Масса груза – $\text{m}$

Угол между стержнями $\angle ABC = \alpha$

Груз подвешен к середине стержня AB

Система в равновесии

Найти:

$F_A, F_B$ – силы давления стержня AB на шарниры А и В.

Решение:

Рассмотрим равновесие стержня AB. На стержень действуют три силы:

1. Сила тяжести груза $\vec{P}$, приложенная к середине стержня D. Ее модуль равен $\text{mg}$ и она направлена вертикально вниз.

2. Сила реакции $\vec{R}_A$ со стороны шарнира A.

3. Сила $\vec{R}_B$ со стороны шарнира B.

Стержень BC является невесомым и нагружен силами только на концах (в шарнирах B и C), следовательно, сила, действующая на него со стороны шарниров, направлена вдоль стержня. По третьему закону Ньютона, стержень BC действует на шарнир B с силой $\vec{T}_{CB}$, направленной вдоль стержня. Так как груз $\text{m}$ тянет систему вниз, стержень BC испытывает сжатие, то есть он давит на шарнир B. Сила $\vec{T}_{CB}$ направлена от точки C к точке B.

Сила, с которой шарнир B действует на стержень AB, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой стержень AB действует на шарнир B. В свою очередь, в шарнире B уравновешиваются силы от стержней AB и BC. Таким образом, сила, действующая на стержень AB в точке B, есть $\vec{R}_B = \vec{T}_{CB}$.

Введем систему координат. Начало в точке А, ось Ox направим горизонтально вдоль стержня AB, ось Oy – вертикально вверх. Пусть длина стержня AB равна $\text{L}$. Тогда координаты точек: A(0, 0), B(L, 0), D(L/2, 0).

Сила $\vec{R}_B$ направлена от C к B. Угол $\angle ABC = \alpha$ является углом между горизонталью (стержнем AB) и стержнем BC. Следовательно, сила $\vec{R}_B$ направлена под углом $\alpha$ к оси Ox. Ее компоненты равны:

$R_{Bx} = T \cos\alpha$

$R_{By} = T \sin\alpha$

где $\text{T}$ – модуль силы сжатия стержня BC (и, соответственно, модуль силы $\vec{R}_B$).

Запишем условия равновесия для стержня AB. Условие равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки A:

$\sum M_A = 0$

Момент силы реакции $\vec{R}_A$ равен нулю. Момент силы тяжести $\vec{P}$ создает вращение по часовой стрелке (отрицательный момент), а момент вертикальной компоненты силы $\vec{R}_B$ создает вращение против часовой стрелки (положительный момент). Горизонтальная компонента $\vec{R}_B$ момента не создает, так как ее линия действия проходит через точку A.

$M(\vec{P}) = -mg \cdot \frac{L}{2}$

$M(\vec{R}_B) = R_{By} \cdot L = (T \sin\alpha) \cdot L$

Из условия равновесия моментов:

$T L \sin\alpha - mg \frac{L}{2} = 0$

Отсюда находим модуль силы T:

$T = \frac{mg}{2 \sin\alpha}$

Теперь запишем условия равенства нулю суммы проекций всех сил на оси координат:

$\sum F_x = R_{Ax} + R_{Bx} = 0 \implies R_{Ax} = -R_{Bx} = -T \cos\alpha = -\frac{mg \cos\alpha}{2 \sin\alpha} = -\frac{mg}{2} \cot\alpha$

$\sum F_y = R_{Ay} + R_{By} - mg = 0 \implies R_{Ay} = mg - R_{By} = mg - T \sin\alpha = mg - \frac{mg}{2 \sin\alpha} \sin\alpha = mg - \frac{mg}{2} = \frac{mg}{2}$

Сила давления стержня AB на шарнир A, $\vec{F}_A$, по третьему закону Ньютона, равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции шарнира $\vec{R}_A$:

$\vec{F}_A = -\vec{R}_A = (-R_{Ax}, -R_{Ay}) = (\frac{mg}{2} \cot\alpha, -\frac{mg}{2})$

Модуль силы $F_A$ равен:

$F_A = |\vec{F}_A| = \sqrt{(\frac{mg}{2} \cot\alpha)^2 + (-\frac{mg}{2})^2} = \frac{mg}{2} \sqrt{\cot^2\alpha + 1} = \frac{mg}{2} \sqrt{\frac{1}{\sin^2\alpha}} = \frac{mg}{2 \sin\alpha}$

Сила давления стержня AB на шарнир B, $\vec{F}_B$, равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции шарнира B на стержень AB, то есть $\vec{F}_B = -\vec{R}_B$.

$\vec{F}_B = - (T \cos\alpha, T \sin\alpha) = (-T \cos\alpha, -T \sin\alpha)$

Модуль силы $F_B$ равен:

$F_B = |\vec{F}_B| = \sqrt{(-T \cos\alpha)^2 + (-T \sin\alpha)^2} = T \sqrt{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = T = \frac{mg}{2 \sin\alpha}$

Таким образом, модули сил давления на шарниры A и B равны.

Ответ: Силы давления стержня AB на шарниры A и B равны по модулю: $F_A = F_B = \frac{mg}{2 \sin\alpha}$.