Номер 5.32, страница 31 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.32, страница 31.

Условие.

5.32*. Однородный шар подвешен на нити, конец которой закреплен на вертикальной стене. Каков должен быть коэффициент трения $\mu$ между шаром и стеной, чтобы точка крепления нити к шару и центр шара находились на одной вертикали? Радиус шара $\text{R}$, длина нити $\text{l}$.

Решение.

Решение 2.

Дано

Радиус однородного шара: $\text{R}$

Длина нити: $\text{l}$

Масса шара: $\text{m}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Коэффициент трения между шаром и стеной: $\mu$

Решение

Рассмотрим силы, действующие на шар в состоянии равновесия. На шар действуют:

1. Сила тяжести $m\vec{g}$, приложенная к центру шара и направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, приложенная к точке крепления нити на шаре.
3. Сила реакции опоры (нормальная сила) $\vec{N}$ со стороны стены, направленная перпендикулярно стене (горизонтально).
4. Сила трения $\vec{F}_{тр}$ со стороны стены, направленная вдоль стены (вертикально вверх), так как она противодействует силе тяжести.

Введем систему координат. Пусть центр шара (точка О) находится в начале координат (0,0). Тогда вертикальная ось OY направлена вверх, а горизонтальная ось OX – от стены к центру шара. Стена представляет собой вертикальную прямую $x = -R$.

Согласно условию задачи, точка крепления нити к шару (точка А) и центр шара (точка О) находятся на одной вертикали. Так как точка А лежит на поверхности шара, ее координаты будут (0, R).

Сила реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$ приложены в точке касания шара со стеной (точка С) с координатами (-R, 0).

Запишем условия равновесия для шара.

1. Условие равновесия моментов сил.

Для нахождения связи между силами удобно рассмотреть моменты сил относительно центра шара (точки О). В этом случае моменты силы тяжести и силы реакции опоры равны нулю, так как линии действия этих сил проходят через центр.

Момент силы трения $\vec{F}_{тр}$ относительно точки О создает вращение по часовой стрелке. Плечо этой силы равно радиусу шара $\text{R}$. Величина момента:

$M_{тр} = F_{тр} \cdot R$

Сила натяжения нити $\vec{T}$ приложена в точке А. Ее можно разложить на горизонтальную ($T_x$) и вертикальную ($T_y$) составляющие. Момент создает только горизонтальная составляющая $T_x$, так как линия действия вертикальной составляющей $T_y$ проходит через центр О. Плечо силы $T_x$ равно R. Этот момент создает вращение против часовой стрелки.

$M_T = T_x \cdot R$

Условие равенства моментов (сумма моментов равна нулю):

$M_{тр} = M_T$

$F_{тр} \cdot R = T_x \cdot R$

Отсюда следует, что для равновесия в данной конфигурации необходимо выполнение условия:

$F_{тр} = T_x$

2. Условие равновесия сил.

Рассмотрим проекции всех сил на оси координат. Сумма проекций сил на каждую ось должна быть равна нулю.

Проекция на ось OX:

$\sum F_x = N - T_x = 0$

Отсюда получаем:

$N = T_x$

Сравнивая это выражение с результатом, полученным из условия равновесия моментов ($F_{тр} = T_x$), мы приходим к важному выводу:

$F_{тр} = N$

Проекция на ось OY:

$\sum F_y = F_{тр} + T_y - mg = 0$

Это уравнение позволяет определить величину силы натяжения, но для нахождения коэффициента трения оно не требуется.

3. Определение коэффициента трения.

Сила трения покоя $F_{тр}$ не может превышать максимального значения, определяемого законом Амонтона-Кулона:

$F_{тр} \le \mu N$

где $\mu$ – коэффициент трения покоя.

Как мы показали выше, для равновесия шара в заданном положении требуется, чтобы сила трения была равна силе нормальной реакции: $F_{тр} = N$.

Подставим это требование в неравенство для силы трения:

$N \le \mu N$

Поскольку шар прижат к стене, сила нормальной реакции $\text{N}$ не равна нулю ($N>0$). Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на $\text{N}$:

$\mu \ge 1$

Вопрос "каков должен быть коэффициент трения" подразумевает нахождение минимально необходимого значения, при котором данное равновесие возможно. Таким образом, искомый коэффициент трения должен быть равен 1.

Ответ:

Коэффициент трения между шаром и стеной должен быть $\mu = 1$.