Номер 5.33, страница 31 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.33, страница 31.

Условие.

5.33. Шкаф массой $m = 30 \text{ кг}$ опирается ножками на платформы двух весов (см. рисунок). В точке $\text{D}$ приложена горизонтальная сила $F = 59 \text{ Н}$. Каковы показания весов, если $AB = 1,2 \text{ м}$, $AD = 2 \text{ м}$? Центр тяжести шкафа совпадает с точкой пересечения $\text{AC}$ и $\text{BD}$.

К задаче 5.33

Решение.

Решение 2.

Дано:

$m = 30$ кг

$F = 59$ Н

$AB = 1,2$ м

$AD = 2$ м

$g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

$m_A$ — показание весов под ножкой A

$m_B$ — показание весов под ножкой B

Решение:

На шкаф, находящийся в равновесии, действуют следующие силы: сила тяжести $P=mg$, приложенная в центре тяжести шкафа (точка O, центр прямоугольника ABCD), горизонтальная сила $\text{F}$, приложенная в точке D, и вертикальные силы реакции опоры $N_A$ и $N_B$, действующие со стороны весов в точках A и B. Весы измеряют силу давления и показывают эквивалентную ей массу. Таким образом, показания весов $m_A$ и $m_B$ связаны с силами реакции опоры $N_A$ и $N_B$ соотношениями $m_A = N_A/g$ и $m_B = N_B/g$.

Для того чтобы тело находилось в равновесии, необходимо выполнение двух условий:

1. Векторная сумма всех действующих на тело сил должна быть равна нулю.

2. Алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой оси вращения должна быть равна нулю.

Запишем первое условие равновесия в проекции на вертикальную ось OY:

$\sum F_y = N_A + N_B - mg = 0$

Из этого уравнения следует:

$N_A + N_B = mg$

Для второго условия равновесия выберем ось вращения, проходящую через точку A перпендикулярно плоскости рисунка. Примем моменты сил, вращающие тело против часовой стрелки, положительными, а по часовой стрелке — отрицательными.

$\sum M_A = M(N_B) + M(mg) + M(F) = 0$

Рассчитаем моменты отдельных сил:

• Момент силы реакции опоры $N_A$ относительно точки A равен нулю, так как её линия действия проходит через ось вращения.
• Момент силы реакции опоры $N_B$: $M(N_B) = N_B \cdot AB$. Этот момент вращает шкаф против часовой стрелки.
• Момент силы тяжести $\text{mg}$: $M(mg) = -mg \cdot \frac{AB}{2}$. Сила приложена в центре масс, на расстоянии $\frac{AB}{2}$ от точки A, и вращает шкаф по часовой стрелке.
• Момент силы $\text{F}$: $M(F) = F \cdot AD$. Сила приложена на высоте $\text{AD}$ и вращает шкаф против часовой стрелки относительно точки A.

Подставим выражения для моментов в уравнение равновесия:

$N_B \cdot AB - mg \cdot \frac{AB}{2} + F \cdot AD = 0$

Выразим из этого уравнения силу реакции $N_B$:

$N_B \cdot AB = mg \cdot \frac{AB}{2} - F \cdot AD$

$N_B = \frac{mg}{2} - \frac{F \cdot AD}{AB}$

Подставим числовые значения:

$mg = 30 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 294 \text{ Н}$

$N_B = \frac{294 \text{ Н}}{2} - \frac{59 \text{ Н} \cdot 2 \text{ м}}{1,2 \text{ м}} = 147 \text{ Н} - \frac{118 \text{ Н} \cdot \text{м}}{1,2 \text{ м}} \approx 147 \text{ Н} - 98,33 \text{ Н} \approx 48,67 \text{ Н}$

Теперь найдем силу реакции $N_A$ из первого условия равновесия:

$N_A = mg - N_B \approx 294 \text{ Н} - 48,67 \text{ Н} \approx 245,33 \text{ Н}$

Зная силы реакции, можем найти показания весов в килограммах:

$m_A = \frac{N_A}{g} \approx \frac{245,33 \text{ Н}}{9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} \approx 25,03 \text{ кг}$

$m_B = \frac{N_B}{g} \approx \frac{48,67 \text{ Н}}{9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} \approx 4,97 \text{ кг}$

Для проверки сложим полученные массы: $m_A + m_B = 25,03 \text{ кг} + 4,97 \text{ кг} = 30 \text{ кг}$, что совпадает с исходной массой шкафа.

Ответ:

Показание весов под ножкой A: $m_A \approx 25,03$ кг.

Показание весов под ножкой B: $m_B \approx 4,97$ кг.