Номер 5.28, страница 31 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.28, страница 31.

Условие.

5.28. Колесо радиусом $\text{R}$ и массой $\text{m}$ стоит перед ступенькой высотой $h < R$. Какую горизонтальную силу $\text{F}$ надо приложить к оси колеса, чтобы оно въехало на ступеньку?

Решение.

Решение 2.

Дано

Радиус колеса: $\text{R}$

Масса колеса: $\text{m}$

Высота ступеньки: $\text{h}$ (причем $h < R$)

Найти:

Минимальную горизонтальную силу $\text{F}$, приложенную к оси колеса.

Решение

Чтобы колесо начало въезжать на ступеньку, оно должно начать вращаться вокруг края ступеньки (обозначим эту точку как O). В предельном случае, когда колесо вот-вот оторвется от земли, оно находится в состоянии равновесия. В этот момент сила реакции опоры со стороны горизонтальной поверхности равна нулю.

Рассмотрим моменты сил относительно точки O. На колесо действуют горизонтальная сила $\text{F}$, сила тяжести $\text{mg}$ и сила реакции опоры со стороны ступеньки. Момент последней силы относительно точки O равен нулю, так как она приложена в этой точке.

Чтобы колесо начало подниматься, вращающий момент силы $\text{F}$ ($M_F$) должен быть как минимум равен моменту силы тяжести $\text{mg}$ ($M_g$), который препятствует вращению. Минимальная сила соответствует условию равенства моментов:

$M_F = M_g$

Момент силы равен произведению модуля силы на ее плечо. Плечо силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Плечо силы $\text{F}$ относительно точки O равно вертикальному расстоянию от оси колеса до края ступеньки:

$l_F = R - h$

Плечо силы тяжести $\text{mg}$ (обозначим $l_g$) равно горизонтальному расстоянию от оси колеса до края ступеньки. Найдем его из прямоугольного треугольника, образованного радиусом колеса, проведенным к краю ступеньки, вертикалью и горизонталью. Катеты этого треугольника равны $l_g$ и $(R-h)$, а гипотенуза равна $\text{R}$.

По теореме Пифагора:

$l_g^2 + (R - h)^2 = R^2$

$l_g^2 = R^2 - (R - h)^2 = R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2) = 2Rh - h^2$

$l_g = \sqrt{2Rh - h^2}$

Теперь подставим выражения для плеч в уравнение моментов $F \cdot l_F = mg \cdot l_g$:

$F \cdot (R - h) = mg \cdot \sqrt{2Rh - h^2}$

Выразим искомую силу $\text{F}$:

$F = mg \frac{\sqrt{2Rh - h^2}}{R - h}$

Ответ: $F = mg \frac{\sqrt{2Rh - h^2}}{R - h}$