Номер 5.22, страница 29 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.22, страница 29.

Условие.

5.22. Доска массой $m = 70 \text{ кг}$ и длиной $l = 1,6 \text{ м}$ лежит на двух опорах, расположенных на расстояниях $a_1 = 40 \text{ см}$ и $a_2 = 20 \text{ см}$ от ее концов. Какую наименьшую вертикальную силу надо приложить к концу доски, чтобы приподнять этот конец? Чтобы приподнять противоположный конец доски? Считайте $g = 10 \text{ м}/\text{с}^2$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

масса доски $m = 70$ кг

длина доски $l = 1,6$ м

расстояние от левого конца до первой опоры $a_1 = 40$ см

расстояние от правого конца до второй опоры $a_2 = 20$ см

ускорение свободного падения $g = 10$ м/с$^2$

Перевод в систему СИ:

$a_1 = 40 \text{ см} = 0,4 \text{ м}$

$a_2 = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$

Найти:

$F_1$ - наименьшая сила для поднятия первого конца доски

$F_2$ - наименьшая сила для поднятия противоположного конца доски

Решение:

Доска является однородным телом, поэтому сила тяжести $P = mg$ приложена к ее центру масс, который находится посередине доски, на расстоянии $l/2$ от каждого конца. При приложении к одному из концов доски минимальной силы, достаточной для его приподнимания, доска начнет вращаться вокруг дальней опоры. При этом сила реакции ближней опоры станет равной нулю. Условием начала вращения является равенство моментов сил, действующих на доску относительно оси вращения (дальней опоры).

Какую наименьшую вертикальную силу надо приложить к концу доски, чтобы приподнять этот конец?

Пусть "этот конец" — это конец доски, находящийся на расстоянии $a_1$ от ближайшей опоры (назовем его левым концом). Чтобы приподнять левый конец, прикладывая к нему силу $F_1$ вверх, доска будет вращаться вокруг правой опоры. Правая опора находится на расстоянии $a_2$ от правого конца доски.

Ось вращения проходит через правую опору. Запишем уравнение моментов сил относительно этой оси. Момент силы $F_1$, стремящийся повернуть доску, уравновешивается моментом силы тяжести $P=mg$.

Момент силы $F_1$ равен $M_1 = F_1 \cdot d_1$, где плечо $d_1$ — это расстояние от левого конца доски до правой опоры, равное $l - a_2$.

Момент силы тяжести $\text{P}$ равен $M_g = mg \cdot d_g$, где плечо $d_g$ — это расстояние от центра доски до правой опоры, равное $l/2 - a_2$.

В момент отрыва доски от левой опоры моменты уравновешиваются: $M_1 = M_g$.

$F_1 (l - a_2) = mg(l/2 - a_2)$

Отсюда находим силу $F_1$:

$F_1 = \frac{mg(l/2 - a_2)}{l - a_2}$

Подставим числовые значения:

$F_1 = \frac{70 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot (1,6 \text{ м} / 2 - 0,2 \text{ м})}{1,6 \text{ м} - 0,2 \text{ м}} = \frac{700 \text{ Н} \cdot (0,8 \text{ м} - 0,2 \text{ м})}{1,4 \text{ м}} = \frac{700 \text{ Н} \cdot 0,6 \text{ м}}{1,4 \text{ м}} = \frac{420}{1,4} \text{ Н} = 300 \text{ Н}$

Ответ: чтобы приподнять этот конец доски, нужно приложить силу 300 Н.

Чтобы приподнять противоположный конец доски?

Теперь приложим силу $F_2$ к противоположному (правому) концу доски, чтобы его приподнять. В этом случае доска будет вращаться вокруг левой опоры, которая находится на расстоянии $a_1$ от левого конца.

Ось вращения проходит через левую опору. Уравнение моментов сил аналогично предыдущему случаю.

Момент силы $F_2$ равен $M_2 = F_2 \cdot d_2$, где плечо $d_2$ — это расстояние от правого конца доски до левой опоры, равное $l - a_1$.

Момент силы тяжести $\text{P}$ равен $M_g' = mg \cdot d_g'$, где плечо $d_g'$ — это расстояние от центра доски до левой опоры, равное $l/2 - a_1$.

В момент отрыва доски от правой опоры моменты уравновешиваются: $M_2 = M_g'$.

$F_2 (l - a_1) = mg(l/2 - a_1)$

Отсюда находим силу $F_2$:

$F_2 = \frac{mg(l/2 - a_1)}{l - a_1}$

Подставим числовые значения:

$F_2 = \frac{70 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot (1,6 \text{ м} / 2 - 0,4 \text{ м})}{1,6 \text{ м} - 0,4 \text{ м}} = \frac{700 \text{ Н} \cdot (0,8 \text{ м} - 0,4 \text{ м})}{1,2 \text{ м}} = \frac{700 \text{ Н} \cdot 0,4 \text{ м}}{1,2 \text{ м}} = \frac{280}{1,2} \text{ Н} \approx 233 \text{ Н}$

Ответ: чтобы приподнять противоположный конец доски, нужно приложить силу примерно 233 Н.