Номер 5.15, страница 29 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.15, страница 29.

Условие.

5.15. Два муравья толкают кусочек древесной коры с силами $F_1 = 2 \text{ мН}$ и $F_2 = 4 \text{ мН}$. Силы направлены в одну сторону, расстояние между линиями действия сил 1,8 мм. Где и какую силу должен приложить третий муравей, чтобы кусочек коры оставался неподвижным? Трением можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$F_1 = 2 \text{ мН}$
$F_2 = 4 \text{ мН}$
$d = 1.8 \text{ мм}$

$F_1 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$
$F_2 = 4 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$
$d = 1.8 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

$F_3$ — ?
$\text{x}$ — место приложения силы $F_3$ — ?

Решение:

Для того чтобы кусочек коры оставался неподвижным, он должен находиться в состоянии равновесия. Это означает, что должны выполняться два условия:

1. Векторная сумма всех приложенных к телу сил должна быть равна нулю. Это условие обеспечивает отсутствие поступательного ускорения.

$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = 0$

2. Алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой оси вращения должна быть равна нулю. Это условие обеспечивает отсутствие углового ускорения.

$\sum M = 0$

Из первого условия равновесия найдем величину и направление силы $F_3$. Силы $F_1$ и $F_2$ направлены в одну сторону. Выберем это направление за положительное. Тогда их равнодействующая $F_{12}$ равна:

$F_{12} = F_1 + F_2 = 2 \text{ мН} + 4 \text{ мН} = 6 \text{ мН}$

Чтобы система находилась в равновесии, сила $F_3$, приложенная третьим муравьем, должна быть равна по модулю силе $F_{12}$ и направлена в противоположную сторону.

$F_3 = F_{12} = 6 \text{ мН}$

Теперь, используя второе условие равновесия, найдем точку приложения силы $F_3$. Удобно выбрать ось вращения, проходящую через линию действия одной из сил, например, силы $F_1$. В этом случае момент силы $F_1$ относительно этой оси равен нулю ($M_1 = 0$).

Пусть сила $F_3$ приложена на расстоянии $\text{x}$ от линии действия силы $F_1$. Тогда плечо силы $F_2$ равно $\text{d}$, а плечо силы $F_3$ равно $\text{x}$. Сила $F_2$ создает вращающий момент в одном направлении, а сила $F_3$ — в противоположном. Запишем правило моментов:

$M_2 + M_3 = 0$

$F_2 \cdot d - F_3 \cdot x = 0$

Выразим из этого уравнения искомое расстояние $\text{x}$:

$x = \frac{F_2 \cdot d}{F_3}$

Подставим числовые значения:

$x = \frac{4 \text{ мН} \cdot 1.8 \text{ мм}}{6 \text{ мН}} = \frac{7.2}{6} \text{ мм} = 1.2 \text{ мм}$

Таким образом, сила $F_3$ должна быть приложена между линиями действия сил $F_1$ и $F_2$ на расстоянии $1.2$ мм от линии действия силы $F_1$. Расстояние от линии действия силы $F_2$ будет составлять $d - x = 1.8 \text{ мм} - 1.2 \text{ мм} = 0.6 \text{ мм}$.

Ответ: Третий муравей должен приложить силу $6 \text{ мН}$, направленную в сторону, противоположную силам первых двух муравьев. Эту силу необходимо приложить между линиями действия первых двух сил на расстоянии $1.2 \text{ мм}$ от линии действия силы $F_1 = 2 \text{ мН}$ и $0.6 \text{ мм}$ от линии действия силы $F_2 = 4 \text{ мН}$.