Номер 5.9, страница 27 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.9, страница 27.

Условие.

5.9*. С какими силами растянуты или сжаты шарнирно закрепленные невесомые стержни (см. рисунок), если $AB = 60$ см, $AC = 1,2$ м, $BC = 1,6$ м, а масса груза $m = 50$ кг?

К задаче 5.9

Решение.

Решение 2.

Дано:

$AB = 60 \text{ см}$

$AC = 1,2 \text{ м}$

$BC = 1,6 \text{ м}$

$m = 50 \text{ кг}$

Перевод в систему СИ:

$AB = 0,6 \text{ м}$

Найти:

Силы, действующие в стержнях $\text{AC}$ и $\text{BC}$.

Решение:

Система находится в равновесии. Рассмотрим равновесие в точке C, где сходятся стержни и подвешен груз. На эту точку действуют три силы: сила тяжести груза $\vec{P}$, направленная вертикально вниз, и две силы реакции стержней, $\vec{F}_{AC}$ и $\vec{F}_{BC}$, направленные вдоль стержней $\text{AC}$ и $\text{BC}$ соответственно.

Сила тяжести груза равна:

$P = mg = 50 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 490 \text{ Н}$

Для решения задачи необходимо определить геометрию системы. Стержни $\text{AC}$, $\text{BC}$ и вертикальный отрезок стены $\text{AB}$ образуют треугольник $ABC$. Найдем его параметры. Пусть $\text{h}$ — горизонтальное расстояние от точки $\text{C}$ до стены (до вертикальной линии, проходящей через точки $\text{A}$ и $\text{B}$). Пусть $\text{H}$ — проекция точки $\text{C}$ на эту вертикальную линию.

Мы имеем два прямоугольных треугольника: $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$. Из рисунка видно, что точка A находится между B и H.

Обозначим расстояние $AH = y$. Тогда $BH = AB + AH = 0,6 + y$.

По теореме Пифагора для этих треугольников:

$AC^2 = AH^2 + h^2 \implies 1,2^2 = y^2 + h^2$

$BC^2 = BH^2 + h^2 \implies 1,6^2 = (0,6 + y)^2 + h^2$

Получаем систему уравнений:

1) $1,44 = y^2 + h^2$

2) $2,56 = (0,6 + y)^2 + h^2 = 0,36 + 1,2y + y^2 + h^2$

Подставим $y^2 + h^2 = 1,44$ из первого уравнения во второе:

$2,56 = 0,36 + 1,2y + 1,44$

$2,56 = 1,80 + 1,2y$

$1,2y = 2,56 - 1,80 = 0,76$

$y = AH = \frac{0,76}{1,2} = \frac{76}{120} = \frac{19}{30} \text{ м}$

Тогда $BH = 0,6 + \frac{19}{30} = \frac{18}{30} + \frac{19}{30} = \frac{37}{30} \text{ м}$.

Из анализа конструкции видно, что стержень $\text{AC}$ должен быть растянут (это растяжка), а стержень $\text{BC}$ — сжат (это подкос). Обозначим величину силы натяжения в стержне $\text{AC}$ как $T_{AC}$, а величину силы сжатия в стержне $\text{BC}$ как $C_{BC}$.

Условие равновесия точки $\text{C}$ в векторной форме: $\vec{P} + \vec{T}_{AC} + \vec{C}_{BC} = 0$.

Запишем это условие в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси. Направим ось $\text{Ox}$ горизонтально от стены к точке $\text{C}$, а ось $\text{Oy}$ — вертикально вверх.

Пусть $\alpha$ — угол между стержнем $\text{AC}$ и вертикалью, а $\beta$ — угол между стержнем $\text{BC}$ и вертикалью.

$\cos \alpha = \frac{AH}{AC} = \frac{19/30}{1,2} = \frac{19}{36}$

$\sin \alpha = \frac{h}{AC}$

$\cos \beta = \frac{BH}{BC} = \frac{37/30}{1,6} = \frac{37}{48}$

$\sin \beta = \frac{h}{BC}$

Сила $\vec{T}_{AC}$ направлена от $\text{C}$ к $\text{A}$. Сила $\vec{C}_{BC}$ направлена от $\text{B}$ к $\text{C}$. Сила $\vec{P}$ направлена вниз.

Проекция на ось $\text{Ox}$ (горизонтальную):

$\sum F_x = C_{BC} \sin \beta - T_{AC} \sin \alpha = 0$

$C_{BC} \frac{h}{BC} - T_{AC} \frac{h}{AC} = 0$

$\frac{C_{BC}}{BC} = \frac{T_{AC}}{AC}$

$T_{AC} = C_{BC} \frac{AC}{BC} = C_{BC} \frac{1,2}{1,6} = \frac{3}{4} C_{BC}$

Проекция на ось $\text{Oy}$ (вертикальную):

$\sum F_y = C_{BC} \cos \beta - T_{AC} \cos \alpha - P = 0$

Подставим выражение для $T_{AC}$:

$C_{BC} \cos \beta - (\frac{3}{4} C_{BC}) \cos \alpha = P$

$C_{BC} (\cos \beta - \frac{3}{4} \cos \alpha) = P$

$C_{BC} (\frac{37}{48} - \frac{3}{4} \frac{19}{36}) = P$

$C_{BC} (\frac{37}{48} - \frac{19}{48}) = P$

$C_{BC} (\frac{18}{48}) = P$

$C_{BC} (\frac{3}{8}) = P$

$C_{BC} = \frac{8}{3} P = \frac{8}{3} \cdot 490 \text{ Н} = \frac{3920}{3} \text{ Н} \approx 1307 \text{ Н}$

Теперь найдем силу натяжения в стержне $\text{AC}$:

$T_{AC} = \frac{3}{4} C_{BC} = \frac{3}{4} \cdot (\frac{8}{3} P) = 2P$

$T_{AC} = 2 \cdot 490 \text{ Н} = 980 \text{ Н}$

Ответ: Стержень $\text{AC}$ растянут с силой $980 \text{ Н}$. Стержень $\text{BC}$ сжат с силой approximately $1307 \text{ Н}$.