Номер 5.4, страница 27 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.4, страница 27.

Условие.

5.4*. Груз массой $\text{m}$ необходимо равномерно перемещать по горизонтальной плоскости. Какую минимальную силу $F_{\text{min}}$ нужно для этого приложить и под каким углом $\alpha$ к плоскости следует ее направить? Коэффициент трения равен $\mu$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса груза: $\text{m}$
Коэффициент трения: $\mu$
Условие движения: равномерное ($v = const$, следовательно, ускорение $a = 0$)

Найти:

Минимальную силу: $F_{min}$
Угол приложения силы: $\alpha$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона. Выберем систему координат: ось Ox направим горизонтально по направлению движения груза, ось Oy — вертикально вверх.

На груз действуют следующие силы:
1. Сила тяжести $F_{тяж} = mg$, направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная перпендикулярно опоре, то есть вертикально вверх.
3. Сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная горизонтально против движения.
4. Приложенная внешняя сила $\text{F}$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту.

Разложим приложенную силу $\text{F}$ на горизонтальную и вертикальную составляющие:
Горизонтальная составляющая: $F_x = F \cos\alpha$
Вертикальная составляющая: $F_y = F \sin\alpha$

Поскольку движение равномерное, ускорение равно нулю. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю. Запишем уравнения в проекциях на оси координат:
Проекция на ось Ox: $F_x - F_{тр} = 0 \implies F \cos\alpha - F_{тр} = 0$ (1)
Проекция на ось Oy: $N + F_y - mg = 0 \implies N + F \sin\alpha - mg = 0$ (2)

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры через коэффициент трения $\mu$:
$F_{тр} = \mu N$

Из уравнения (2) выразим силу реакции опоры $\text{N}$:
$N = mg - F \sin\alpha$

Подставим это выражение для $\text{N}$ в формулу для силы трения:
$F_{тр} = \mu (mg - F \sin\alpha)$

Теперь подставим полученное выражение для $F_{тр}$ в уравнение (1):
$F \cos\alpha - \mu (mg - F \sin\alpha) = 0$

Решим это уравнение относительно силы $\text{F}$:
$F \cos\alpha - \mu mg + \mu F \sin\alpha = 0$
$F \cos\alpha + \mu F \sin\alpha = \mu mg$
$F (\cos\alpha + \mu \sin\alpha) = \mu mg$
$F(\alpha) = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}$

Мы получили зависимость величины приложенной силы $\text{F}$ от угла $\alpha$. Чтобы найти минимальное значение силы $F_{min}$, нужно найти такое значение угла $\alpha$, при котором знаменатель $Z(\alpha) = \cos\alpha + \mu \sin\alpha$ будет максимальным. Для нахождения максимума функции найдем ее производную по $\alpha$ и приравняем к нулю.
$Z'(\alpha) = \frac{d}{d\alpha}(\cos\alpha + \mu \sin\alpha) = -\sin\alpha + \mu \cos\alpha$

Приравняем производную к нулю:
$-\sin\alpha + \mu \cos\alpha = 0$
$\mu \cos\alpha = \sin\alpha$
$\mu = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$

Следовательно, угол, при котором приложенная сила минимальна, определяется соотношением:
$\alpha = \arctan\mu$

Теперь, зная оптимальный угол, найдем значение минимальной силы $F_{min}$. Для этого выразим $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ через $\mu = \tan\alpha$.
Используя тригонометрические тождества:
$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}$
$\sin\alpha = \frac{\tan\alpha}{\sqrt{1 + \tan^2\alpha}} = \frac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}$

Подставим эти выражения в полученную ранее формулу для $F(\alpha)$:
$F_{min} = \frac{\mu mg}{\frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}} + \mu \cdot \frac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}} = \frac{\mu mg}{\frac{1 + \mu^2}{\sqrt{1 + \mu^2}}}$
$F_{min} = \frac{\mu mg}{\sqrt{1 + \mu^2}}$

Ответ: Минимальную силу $F_{min} = \frac{\mu mg}{\sqrt{1 + \mu^2}}$ нужно приложить под углом $\alpha = \arctan\mu$ к горизонтальной плоскости.