Номер 5.8, страница 27 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.8, страница 27.

Условие.

5.8. Невесомые стержни AB и BC шарнирно закреплены в точках A, B, C (см. рисунок). С какими силами растянуты или сжаты стержни, если $ \alpha = 60^{\circ} $, а масса подвешенного в точке B фонаря $m = 3 \text{ кг}$?

K задаче 5.8

Решение.

Решение 2.

Дано:

$α = 60°$
$m = 3$ кг
$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$F_{AB}$ — сила упругости в стержне AB;
$F_{BC}$ — сила упругости в стержне BC.
Определить, сжаты или растянуты стержни.

Решение:

Рассмотрим узел B, в котором сходятся стержни и подвешен фонарь. Поскольку система находится в состоянии покоя, она находится в равновесии. Согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил, приложенных к узлу B, равна нулю.

На узел B действуют три силы:

1. Сила тяжести $\text{P}$, действующая на фонарь, направленная вертикально вниз: $P = mg$.
2. Сила реакции стержня AB, $F_{AB}$, направленная горизонтально вдоль оси стержня.
3. Сила реакции стержня BC, $F_{BC}$, направленная вдоль оси стержня BC.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке B, осью OX, направленной горизонтально вправо, и осью OY, направленной вертикально вверх.

Условие равновесия в векторной форме: $\vec{P} + \vec{F}_{AB} + \vec{F}_{BC} = 0$.

Запишем это условие в проекциях на оси координат:

$\sum F_x = 0$
$\sum F_y = 0$

Проанализируем направления сил. Сила тяжести $\text{P}$ направлена вниз. Чтобы ее скомпенсировать, сила реакции стержня BC ($F_{BC}$) должна иметь вертикальную составляющую, направленную вверх. Следовательно, сила $F_{BC}$ направлена от C к B (вверх и вправо под углом $α$ к горизонту). Это означает, что стержень BC сжат.

Горизонтальная составляющая силы $F_{BC}$ направлена вправо. Для ее компенсации сила реакции стержня AB ($F_{AB}$) должна быть направлена влево. Это означает, что стержень AB растянут.

Теперь запишем уравнения равновесия в проекциях:

Ось OX: $F_{BC} \cdot \cos(α) - F_{AB} = 0$ (1)
Ось OY: $F_{BC} \cdot \sin(α) - P = 0$ (2)

Из уравнения (2) выразим величину силы $F_{BC}$:

$F_{BC} \cdot \sin(α) = P = mg$
$F_{BC} = \frac{mg}{\sin(α)}$

Подставим числовые значения:

$F_{BC} = \frac{3 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{\sin(60°)} = \frac{29.4 \text{ Н}}{\sqrt{3}/2} \approx \frac{29.4}{0.866} \approx 33.95 \text{ Н}$

Из уравнения (1) выразим величину силы $F_{AB}$:

$F_{AB} = F_{BC} \cdot \cos(α)$

Подставим в это уравнение выражение для $F_{BC}$:

$F_{AB} = \frac{mg}{\sin(α)} \cdot \cos(α) = mg \cdot \text{ctg}(α)$

Подставим числовые значения:

$F_{AB} = 29.4 \text{ Н} \cdot \text{ctg}(60°) = 29.4 \text{ Н} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx \frac{29.4}{1.732} \approx 16.98 \text{ Н}$

Округлим полученные значения до трех значащих цифр.

Ответ:

Стержень AB растянут с силой $F_{AB} \approx 17.0 \text{ Н}$.
Стержень BC сжат с силой $F_{BC} \approx 34.0 \text{ Н}$.