Номер 5.2, страница 27 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.2, страница 27.

Условие.

5.2. С какой силой $\text{F}$ надо тянуть веревку, привязан-ную к ящику массой $m = 40$ кг, чтобы ящик двигалсяпо горизонтальной поверхности равномерно? Коэффициенттрения $\mu = 0,27$, веревка образует угол $\alpha = 30^{\circ}$ с горизонтом.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$m = 40$ кг

$\mu = 0,27$

$\alpha = 30^\circ$

Движение равномерное, следовательно, ускорение $a=0$.

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{F}$ - ?

Решение:

На ящик действуют четыре силы: сила тяжести ($\text{mg}$), направленная вертикально вниз, сила реакции опоры ($\text{N}$), направленная вертикально вверх, сила натяжения веревки ($\text{F}$), направленная под углом $\alpha$ к горизонту, и сила трения скольжения ($F_{тр}$), направленная горизонтально против движения.

Выберем систему координат, в которой ось OX направлена горизонтально (вдоль движения), а ось OY — вертикально вверх.

Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение: $\sum \vec{F} = m\vec{a}$.

Так как движение равномерное, ускорение $a=0$, и, следовательно, $\sum \vec{F} = 0$. Это означает, что равнодействующая всех сил равна нулю.

Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях на оси координат.

Проекция на ось OX:

Горизонтальная составляющая силы натяжения $F_x = F \cos(\alpha)$ направлена в сторону движения, а сила трения $F_{тр}$ — в противоположную. Их сумма равна нулю:

$F \cos(\alpha) - F_{тр} = 0$

$F \cos(\alpha) = F_{тр}$ (1)

Проекция на ось OY:

Вверх направлены сила реакции опоры $\text{N}$ и вертикальная составляющая силы натяжения $F_y = F \sin(\alpha)$. Вниз направлена сила тяжести $\text{mg}$. Сумма этих сил также равна нулю:

$N + F \sin(\alpha) - mg = 0$

Из этого уравнения выразим силу реакции опоры:

$N = mg - F \sin(\alpha)$ (2)

Сила трения скольжения связана с силой реакции опоры через коэффициент трения: $F_{тр} = \mu N$.

Подставим выражение для $\text{N}$ из уравнения (2) в формулу для силы трения:

$F_{тр} = \mu (mg - F \sin(\alpha))$ (3)

Теперь подставим полученное выражение для $F_{тр}$ (3) в уравнение (1):

$F \cos(\alpha) = \mu (mg - F \sin(\alpha))$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\text{F}$:

$F \cos(\alpha) = \mu mg - \mu F \sin(\alpha)$

$F \cos(\alpha) + \mu F \sin(\alpha) = \mu mg$

$F (\cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)) = \mu mg$

$F = \frac{\mu mg}{\cos(\alpha) + \mu \sin(\alpha)}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\cos(30^\circ) \approx 0,866$

$\sin(30^\circ) = 0,5$

$F = \frac{0,27 \cdot 40 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{0,866 + 0,27 \cdot 0,5} = \frac{105,84 \text{ Н}}{0,866 + 0,135} = \frac{105,84 \text{ Н}}{1,001} \approx 105,73 \text{ Н}$

Округляя, получаем $F \approx 106 \text{ Н}$.

Ответ: для того, чтобы ящик двигался равномерно, веревку надо тянуть с силой $F \approx 106 \text{ Н}$.