Номер 4.48, страница 26 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.48, страница 26.

Условие.

4.48* Несколько частиц столкнулись так, что максимально возможная часть их кинетической энергии перешла во внутреннюю. Как движутся частицы после столкновения?

Решение.

Решение 2.

Решение

Условие, что в результате столкновения максимально возможная часть кинетической энергии частиц перешла во внутреннюю, эквивалентно тому, что суммарная кинетическая энергия частиц после столкновения, $E_{к,кон}$, является минимально возможной.

При любом столкновении для замкнутой системы частиц выполняется закон сохранения импульса: суммарный импульс системы до столкновения $\vec{P}_{нач}$ равен суммарному импульсу после столкновения $\vec{P}_{кон}$.

$\vec{P}_{нач} = \vec{P}_{кон}$

Скорость центра масс системы $\vec{V}_{цм}$ определяется как отношение суммарного импульса системы к ее суммарной массе $\text{M}$. Так как импульс системы сохраняется, скорость ее центра масс остается постоянной до, во время и после столкновения.

$\vec{V}_{цм} = \frac{\vec{P}_{нач}}{M} = const$

Согласно теореме Кёнига, полная кинетическая энергия системы частиц может быть представлена как сумма кинетической энергии движения центра масс ($E_{к,цм}$) и кинетической энергии движения частиц относительно центра масс ($E'_{к}$):

$E_к = E_{к,цм} + E'_{к} = \frac{M V_{цм}^2}{2} + E'_{к}$

Поскольку $\text{M}$ и $\vec{V}_{цм}$ не изменяются в процессе столкновения, то и кинетическая энергия движения центра масс $E_{к,цм}$ также остается постоянной. Следовательно, для минимизации полной кинетической энергии системы после столкновения $E_{к,кон}$ необходимо минимизировать кинетическую энергию движения частиц относительно центра масс после столкновения $E'_{к,кон}$.

Кинетическая энергия движения частиц относительно центра масс после столкновения равна:

$E'_{к,кон} = \sum_{i} \frac{m_i (\vec{u}_i - \vec{V}_{цм})^2}{2}$

где $m_i$ и $\vec{u}_i$ — масса и скорость $\text{i}$-й частицы после столкновения.

Так как кинетическая энергия является величиной неотрицательной (сумма неотрицательных слагаемых), ее минимальное возможное значение равно нулю. Это значение достигается только тогда, когда скорости всех частиц относительно центра масс равны нулю:

$\vec{u}_i - \vec{V}_{цм} = 0$ для всех частиц $\text{i}$.

Это означает, что после столкновения скорости всех частиц становятся одинаковыми и равными скорости центра масс системы:

$\vec{u}_1 = \vec{u}_2 = ... = \vec{u}_N = \vec{V}_{цм}$

Таким образом, после столкновения все частицы движутся как единое целое (происходит их слипание). Такой тип столкновения называется абсолютно неупругим ударом.

Ответ: После столкновения все частицы будут двигаться вместе, как единое целое, с одинаковой скоростью, равной скорости центра масс системы, которую система имела до столкновения.