Номер 5.3, страница 27 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.3, страница 27.

Условие.

5.3. Ящик толкают по горизонтальной плоскости, прикладывая к нему силу, как показано на рисунке. Масса ящика $\text{m}$, коэффициент трения $\mu$. При какой величине силы $\text{F}$ ящик будет двигаться равномерно?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса ящика: $\text{m}$

Коэффициент трения: $μ$

Угол приложения силы к горизонту: $α$

Движение ящика: равномерное ($v = const$)

Найти:

Силу: $\text{F}$

Решение:

Поскольку ящик движется равномерно, его ускорение равно нулю ($a=0$). Согласно первому закону Ньютона, это означает, что векторная сумма всех сил, действующих на ящик, равна нулю.

На ящик действуют четыре силы:

1. Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх.
3. Приложенная сила $\vec{F}$, направленная под углом $α$ к горизонту.
4. Сила трения скольжения $\vec{F_{тр}}$, направленная горизонтально против движения.

Введем систему координат: ось $\text{Ox}$ направим горизонтально в сторону движения, а ось $\text{Oy}$ – вертикально вверх.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$m\vec{a} = \vec{F} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F_{тр}}$

Так как $a=0$, получаем:

$\vec{F} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F_{тр}} = 0$

Спроецируем это уравнение на оси координат. Для этого разложим силу $\vec{F}$ на компоненты:

• Горизонтальная компонента: $F_x = F \cos(α)$
• Вертикальная компонента: $F_y = F \sin(α)$ (направлена вниз)

Проекция на ось $\text{Ox}$:

$F_x - F_{тр} = 0$

$F \cos(α) - F_{тр} = 0 \quad (1)$

Проекция на ось $\text{Oy}$:

$N - mg - F_y = 0$

$N - mg - F \sin(α) = 0 \quad (2)$

Сила трения скольжения связана с силой реакции опоры формулой:

$F_{тр} = μN \quad (3)$

Из уравнения (2) выразим силу реакции опоры $\text{N}$:

$N = mg + F \sin(α)$

Подставим выражение для $\text{N}$ в формулу для силы трения (3):

$F_{тр} = μ(mg + F \sin(α))$

Теперь подставим полученное выражение для $F_{тр}$ в уравнение (1):

$F \cos(α) - μ(mg + F \sin(α)) = 0$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\text{F}$:

$F \cos(α) - μmg - μF \sin(α) = 0$

$F \cos(α) - μF \sin(α) = μmg$

$F(\cos(α) - μ \sin(α)) = μmg$

Отсюда находим искомую величину силы $\text{F}$:

$F = \frac{μmg}{\cos(α) - μ \sin(α)}$

Это решение имеет физический смысл только при условии, что знаменатель положителен, то есть $\cos(α) - μ \sin(α) > 0$, или $μ < \cot(α)$. В противном случае никакая сила $\text{F}$ не сможет сдвинуть ящик с места, так как с ростом $\text{F}$ сила трения будет расти быстрее, чем горизонтальная составляющая силы $\text{F}$.

Ответ: $F = \frac{μmg}{\cos(\alpha) - μ \sin(\alpha)}$