Номер 5.7, страница 27 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.7, страница 27.

Условие.

5.7. Найдите равнодействующую $\text{n}$ приложенных в одной точке сил, каждая из которых равна по модулю $\text{F}$ и образует угол $2\pi/n$ с соседними (ближайшими по направлению) силами. Все силы лежат в одной плоскости.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Количество сил: $\text{n}$

Модуль каждой силы: $|\vec{F_k}| = F$ для $k = 1, 2, \dots, n$

Угол между соседними силами: $\Delta\phi = \frac{2\pi}{n}$

Все силы лежат в одной плоскости.

Найти:

Равнодействующую силу: $\vec{R}$

Решение:

Равнодействующая сила $\vec{R}$ является векторной суммой всех $\text{n}$ приложенных сил:

$\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \dots + \vec{F_n} = \sum_{k=1}^{n} \vec{F_k}$

Рассмотрим решение задачи несколькими способами.

1. Метод проекций на оси координат

Введем декартову систему координат $OXY$ так, чтобы точка приложения сил совпадала с началом координат, а вектор первой силы $\vec{F_1}$ был направлен вдоль оси $\text{OX}$.

Поскольку угол между соседними силами равен $\frac{2\pi}{n}$, то угол $\text{k}$-й силы $\vec{F_k}$ с осью $\text{OX}$ будет равен $\phi_k = (k-1)\frac{2\pi}{n}$.

Найдем проекции $\text{k}$-й силы на оси координат:

$F_{kx} = F \cos(\phi_k) = F \cos\left(\frac{2\pi(k-1)}{n}\right)$

$F_{ky} = F \sin(\phi_k) = F \sin\left(\frac{2\pi(k-1)}{n}\right)$

Проекции равнодействующей силы $\vec{R}$ на оси $\text{OX}$ и $\text{OY}$ равны сумме проекций всех сил:

$R_x = \sum_{k=1}^{n} F_{kx} = F \sum_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{2\pi(k-1)}{n}\right)$

$R_y = \sum_{k=1}^{n} F_{ky} = F \sum_{k=1}^{n} \sin\left(\frac{2\pi(k-1)}{n}\right)$

Суммы косинусов и синусов углов, равномерно распределенных по окружности, равны нулю. В данном случае мы имеем сумму векторов, направленных из центра к вершинам правильного $\text{n}$-угольника. Сумма таких векторов равна нулю, а значит, и суммы их проекций на любую ось также равны нулю.

Для $n > 1$ справедливы тождества:

$\sum_{j=0}^{n-1} \cos\left(\frac{2\pi j}{n}\right) = 0$

$\sum_{j=0}^{n-1} \sin\left(\frac{2\pi j}{n}\right) = 0$

В нашем случае суммирование идет по $k-1$ от $\text{0}$ до $n-1$ (индекс $j=k-1$), что полностью соответствует этим формулам.

Таким образом, $R_x = F \cdot 0 = 0$ и $R_y = F \cdot 0 = 0$.

Модуль равнодействующей силы равен: $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0$.

2. Геометрический метод (правило многоугольника)

Чтобы найти векторную сумму сил, сложим их по правилу многоугольника, откладывая каждый следующий вектор из конца предыдущего. Мы получим ломаную линию, состоящую из $\text{n}$ звеньев, каждое длиной $\text{F}$.

Угол между соседними векторами сил равен $\frac{2\pi}{n}$. При построении многоугольника это будет внешний угол при вершине.

Так как все стороны (модули сил) равны, и все внешние углы равны, то мы строим правильный $\text{n}$-угольник. Сумма внешних углов такого многоугольника равна $n \cdot \frac{2\pi}{n} = 2\pi$, что является свойством любого замкнутого многоугольника.

Это означает, что конец последнего вектора $\vec{F_n}$ совпадает с началом первого вектора $\vec{F_1}$.

Равнодействующая сила $\vec{R}$ — это вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего. Поскольку они совпадают, результирующий вектор является нулевым вектором.

$\vec{R} = \vec{0}$

3. Метод, основанный на симметрии системы

Система из $\text{n}$ сил, равных по модулю и расположенных под углом $\frac{2\pi}{n}$ друг к другу, обладает симметрией вращения. Если повернуть всю систему на угол $\frac{2\pi}{n}$ вокруг точки приложения сил, то система не изменится (вектор $\vec{F_1}$ займет место вектора $\vec{F_2}$, $\vec{F_2}$ займет место $\vec{F_3}$, и так далее).

Поскольку сама система сил при таком повороте не меняется, то и ее равнодействующая $\vec{R}$ также не должна меняться. То есть, вектор $\vec{R}$ должен совпадать сам с собой после поворота на угол $\frac{2\pi}{n}$.

Единственный вектор, который не изменяется при повороте на угол, не кратный $2\pi$ (что справедливо для $n>1$), — это нулевой вектор.

Следовательно, равнодействующая данной системы сил равна нулю.

Ответ: Равнодействующая сила равна нулю, $\vec{R} = \vec{0}$.