Номер 5.11, страница 28 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.11, страница 28.

Условие.

5.11*. К концам нити, переброшенной через два блока, подвесили грузы $m_1$ и $m_2$ (см. рисунок). Какой груз $m_3$ надо подвесить к нити между блоками, чтобы при равновесии угол $\alpha$ был равен $120^{\circ}$? Рассмотрите случаи:

а) $m_1 = m_2 = 4$ кг;

б) $m_1 = 3$ кг, $m_2 = 5$ кг.

К задаче 5.11

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи рассмотрим условие равновесия в точке A, к которой подвешен груз $m_3$. В этой точке сходятся три силы: сила натяжения нити $\vec{T_1}$, создаваемая грузом $m_1$, сила натяжения нити $\vec{T_2}$, создаваемая грузом $m_2$, и сила тяжести $\vec{P_3}$, действующая на груз $m_3$.

Так как система находится в равновесии, силы натяжения нити по модулю равны силам тяжести, действующим на соответствующие грузы (считаем блоки идеальными, а нить невесомой и нерастяжимой):

$T_1 = m_1 g$

$T_2 = m_2 g$

$P_3 = m_3 g$

где $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Условие равновесия для точки A заключается в том, что векторная сумма всех приложенных к ней сил равна нулю:

$\vec{T_1} + \vec{T_2} + \vec{P_3} = 0$

Это уравнение можно переписать в виде $\vec{T_1} + \vec{T_2} = -\vec{P_3}$. Это означает, что равнодействующая сил натяжения $\vec{R} = \vec{T_1} + \vec{T_2}$ должна быть равна по модулю и противоположна по направлению силе тяжести $\vec{P_3}$.

Модуль равнодействующей $\text{R}$ можно найти по теореме косинусов для сложения векторов. Если угол между векторами $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$ равен $\alpha$, то квадрат модуля их суммы равен:

$R^2 = T_1^2 + T_2^2 + 2T_1 T_2 \cos{\alpha}$

Поскольку $R = P_3 = m_3 g$, подставим модули сил в это уравнение:

$(m_3 g)^2 = (m_1 g)^2 + (m_2 g)^2 + 2(m_1 g)(m_2 g) \cos{\alpha}$

Сократив обе части на $g^2$, получаем выражение для массы $m_3$:

$m_3^2 = m_1^2 + m_2^2 + 2m_1 m_2 \cos{\alpha}$

Из условия задачи известно, что $\alpha = 120^\circ$. Значение косинуса этого угла: $\cos(120^\circ) = -0.5$.

Подставим это значение в нашу формулу:

$m_3^2 = m_1^2 + m_2^2 + 2m_1 m_2 (-0.5) = m_1^2 + m_2^2 - m_1 m_2$

Таким образом, итоговая формула для расчета массы $m_3$:

$m_3 = \sqrt{m_1^2 + m_2^2 - m_1 m_2}$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $m_1 = m_2 = 4$ кг

Дано:

$m_1 = 4$ кг
$m_2 = 4$ кг
$\alpha = 120^\circ$

Найти:

$m_3$

Решение:
Подставим заданные значения в полученную формулу:
$m_3 = \sqrt{4^2 + 4^2 - 4 \cdot 4} = \sqrt{16 + 16 - 16} = \sqrt{16} = 4$ кг.

Ответ: 4 кг.

б) $m_1 = 3$ кг, $m_2 = 5$ кг

Дано:

$m_1 = 3$ кг
$m_2 = 5$ кг
$\alpha = 120^\circ$

Найти:

$m_3$

Решение:
Подставим заданные значения в ту же формулу:
$m_3 = \sqrt{3^2 + 5^2 - 3 \cdot 5} = \sqrt{9 + 25 - 15} = \sqrt{34 - 15} = \sqrt{19}$ кг.

Ответ: $\sqrt{19}$ кг.