Номер 5.12, страница 28 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.12, страница 28.

Условие.

5.12*. Груз массой $m_1$ находится на наклонной плоскости (см. рисунок), образующей угол $\alpha$ с горизонтом. Коэффициент трения равен $\mu$. На нити, привязанной к грузу и переброшенной через блок, подвешен груз массой $m_2$. При какой величине $m_2$ система будет находиться в равновесии?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса груза на наклонной плоскости: $m_1$

Угол наклона плоскости к горизонту: $\alpha$

Коэффициент трения: $\mu$

Масса подвешенного груза: $m_2$

Найти:

При какой величине $m_2$ система будет находиться в равновесии.

Решение:

Для того чтобы система находилась в равновесии, равнодействующая всех сил, приложенных к каждому телу, должна быть равна нулю. Рассмотрим условия равновесия для каждого груза.

1. Груз массой $m_2$:

На него действуют сила тяжести $m_2 g$ (вниз) и сила натяжения нити $\text{T}$ (вверх). Условие равновесия:

$T = m_2 g$

2. Груз массой $m_1$ на наклонной плоскости:

Выберем систему координат, в которой ось $\text{Ox}$ направлена вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $\text{Oy}$ — перпендикулярно ей. На груз действуют:

• Сила тяжести $m_1 g$, направленная вертикально вниз. Ее проекции на оси: $m_1 g \sin(\alpha)$ на $\text{Ox}$ (вниз) и $m_1 g \cos(\alpha)$ на $\text{Oy}$ (вниз).
• Сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вдоль оси $\text{Ox}$ вверх.
• Сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная вдоль оси $\text{Oy}$ вверх.
• Сила трения покоя $F_{тр}$, направленная вдоль наклонной плоскости.

Запишем уравнения равновесия (второй закон Ньютона при нулевом ускорении) в проекциях на оси:

Ось $\text{Oy}$: $N - m_1 g \cos(\alpha) = 0 \implies N = m_1 g \cos(\alpha)$

Ось $\text{Ox}$: $T - m_1 g \sin(\alpha) + F_{тр} = 0$

В этом уравнении сила трения $F_{тр}$ может быть направлена как вверх, так и вниз по наклонной плоскости, в зависимости от того, в какую сторону стремится сдвинуться груз $m_1$. Условие равновесия сохраняется, пока сила трения покоя не превышает своего максимального значения: $|F_{тр}| \le F_{тр.макс}$.

Максимальная сила трения покоя определяется как $F_{тр.макс} = \mu N = \mu m_1 g \cos(\alpha)$.

Из уравнения для оси $\text{Ox}$ выразим силу трения: $F_{тр} = m_1 g \sin(\alpha) - T$. Подставив $T = m_2 g$, получим:

$F_{тр} = m_1 g \sin(\alpha) - m_2 g = g(m_1 \sin(\alpha) - m_2)$

Теперь подставим это в условие для силы трения покоя:

$-\mu m_1 g \cos(\alpha) \le g(m_1 \sin(\alpha) - m_2) \le \mu m_1 g \cos(\alpha)$

Разделим все части неравенства на $\text{g}$ (т.к. $g > 0$):

$-\mu m_1 \cos(\alpha) \le m_1 \sin(\alpha) - m_2 \le \mu m_1 \cos(\alpha)$

Выразим $m_2$ из этого двойного неравенства. Сначала вычтем $m_1 \sin(\alpha)$ из всех частей:

$-m_1 \sin(\alpha) - \mu m_1 \cos(\alpha) \le -m_2 \le -m_1 \sin(\alpha) + \mu m_1 \cos(\alpha)$

Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$m_1 \sin(\alpha) + \mu m_1 \cos(\alpha) \ge m_2 \ge m_1 \sin(\alpha) - \mu m_1 \cos(\alpha)$

Запишем в привычном виде:

$m_1(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha)) \le m_2 \le m_1(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))$

Это и есть диапазон значений массы $m_2$, при которых система будет находиться в равновесии.

Следует учесть, что масса не может быть отрицательной. Если выражение $m_1(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$ отрицательно (что эквивалентно условию $\tan(\alpha) < \mu$), это означает, что сила трения сама по себе способна удержать груз $m_1$ на наклонной плоскости даже без груза $m_2$. В этом случае минимально возможная масса $m_2$ равна нулю.

Ответ: Система будет находиться в равновесии, если масса $m_2$ удовлетворяет условию: $m_1(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha)) \le m_2 \le m_1(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))$. Если $\tan(\alpha) < \mu$, то нижняя граница диапазона становится отрицательной, и, поскольку масса не может быть отрицательной, условие равновесия принимает вид: $0 \le m_2 \le m_1(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))$.