Номер 5.5, страница 27 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 5. Статика - номер 5.5, страница 27.

Условие.

5.5. При каком коэффициенте трения $ \mu $ заколоченный в бревно клин не выскакивает? Угол при вершине клина $ \alpha = 30^{\circ} $.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Угол при вершине клина $\alpha = 30^\circ$.

Найти:

Коэффициент трения $\mu$.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на клин, когда он заколочен в бревно. На боковые грани клина со стороны бревна действуют силы нормальной реакции $\text{N}$, перпендикулярные этим граням, и силы трения $F_{тр}$, направленные вдоль граней. Клин будет стремиться выскочить из бревна под действием составляющих сил нормальной реакции. Силы трения будут препятствовать этому движению, поэтому они направлены внутрь бревна.

Клин не выскочит, если он находится в равновесии. Это условие называется самоторможением. Рассмотрим предельный случай, когда клин находится на грани выскальзывания.

Введем систему координат, направив ось OY вдоль оси симметрии клина наружу из бревна. Из-за симметрии задачи мы можем рассмотреть силы, действующие на одну половину клина, или спроецировать все силы на ось OY.

Угол между каждой гранью клина и осью симметрии OY равен $\alpha/2$.

Сила нормальной реакции $\text{N}$ перпендикулярна грани. Следовательно, угол между вектором силы $\text{N}$ и осью OY составляет $90^\circ - \alpha/2$. На клин действуют две такие силы с обеих сторон. Их суммарная проекция на ось OY, выталкивающая клин, равна:

$F_{N,y} = 2 \cdot N \cdot \cos(90^\circ - \alpha/2) = 2N \sin(\alpha/2)$

Сила трения $F_{тр}$ направлена вдоль грани внутрь бревна, то есть против возможного движения. Угол между направлением силы трения и осью OY составляет $180^\circ - \alpha/2$. Суммарная проекция двух сил трения на ось OY, удерживающая клин, равна:

$F_{тр,y} = 2 \cdot F_{тр} \cdot \cos(180^\circ - \alpha/2) = -2F_{тр} \cos(\alpha/2)$

Для того чтобы клин не выскакивал, модуль удерживающей силы должен быть не меньше выталкивающей силы:

$|F_{тр,y}| \ge F_{N,y}$

$2F_{тр} \cos(\alpha/2) \ge 2N \sin(\alpha/2)$

Сила трения покоя $F_{тр}$ может принимать значения от нуля до максимального $F_{тр,max} = \mu N$, где $\mu$ - коэффициент трения. Условие невыскальзывания должно выполняться за счет максимальной силы трения покоя:

$2 (\mu N) \cos(\alpha/2) \ge 2N \sin(\alpha/2)$

Сокращаем обе части неравенства на $\text{2N}$ (поскольку сила реакции $N > 0$):

$\mu \cos(\alpha/2) \ge \sin(\alpha/2)$

Разделив обе части на $\cos(\alpha/2)$ (для $\alpha = 30^\circ$, $\cos(15^\circ) > 0$), получим условие для коэффициента трения:

$\mu \ge \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}$

$\mu \ge \tan(\alpha/2)$

Подставим в это выражение значение угла $\alpha = 30^\circ$:

$\alpha/2 = 15^\circ$

$\mu \ge \tan(15^\circ)$

Вычислим значение тангенса $15^\circ$ используя формулу тангенса разности:

$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)}$

Зная, что $\tan(45^\circ) = 1$ и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$\tan(15^\circ) = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$:

$\tan(15^\circ) = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

Таким образом, условие, при котором клин не выскакивает, имеет вид:

$\mu \ge 2 - \sqrt{3}$

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$\mu \ge 2 - 1.732 \approx 0.268$

Ответ: Чтобы клин не выскакивал, коэффициент трения $\mu$ должен удовлетворять условию $\mu \ge \tan(\alpha/2)$. При $\alpha = 30^\circ$ это условие принимает вид $\mu \ge \tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3} \approx 0.268$.