Номер 4.50, страница 26 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.50, страница 26.

Условие.

4.50* Какую минимальную скорость нужно сообщить телу, находящемуся на полюсе Земли, чтобы оно покинуло околоземное пространство? Радиус Земли $R = 6400 \text{ км}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус Земли $R = 6400 \text{ км}$.

Для расчетов также примем стандартное значение ускорения свободного падения у поверхности Земли $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Перевод в систему СИ:

$R = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$.

Найти:

$v_{min}$ - ?

Решение:

Минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно покинуло околоземное пространство (то есть преодолело гравитационное притяжение Земли и ушло на бесконечность), называется второй космической скоростью или скоростью убегания. Для нахождения этой скорости воспользуемся законом сохранения полной механической энергии.

Полная механическая энергия тела $\text{E}$ является суммой его кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий в гравитационном поле Земли:

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} - \frac{GMm}{r}$

где $\text{m}$ — масса тела, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{v}$ — скорость тела, $\text{r}$ — расстояние от центра Земли, $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

В начальный момент времени тело находится на поверхности Земли (на полюсе), то есть на расстоянии $\text{R}$ от её центра. Ему сообщают минимально необходимую скорость $v_{min}$. Его полная энергия $E_1$ в этот момент равна:

$E_1 = \frac{mv_{min}^2}{2} - \frac{GMm}{R}$

Условие того, что тело покинет околоземное пространство, означает, что оно сможет удалиться на бесконечно большое расстояние от Земли ($r \to \infty$). Минимальная начальная скорость соответствует случаю, когда на бесконечности скорость тела обращается в нуль ($v_{\infty} = 0$). В этом случае полная энергия тела в конечном состоянии $E_2$ будет равна нулю:

$E_2 = \lim_{r \to \infty} (\frac{mv_{\infty}^2}{2} - \frac{GMm}{r}) = 0 - 0 = 0$

Согласно закону сохранения энергии, начальная энергия должна быть равна конечной: $E_1 = E_2$.

$\frac{mv_{min}^2}{2} - \frac{GMm}{R} = 0$

Из этого уравнения выразим $v_{min}$:

$\frac{mv_{min}^2}{2} = \frac{GMm}{R}$

$v_{min}^2 = \frac{2GM}{R}$

$v_{min} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Для удобства расчетов можно выразить произведение $\text{GM}$ через ускорение свободного падения у поверхности Земли $\text{g}$. Сила тяжести $\text{mg}$ равна силе гравитационного притяжения $\frac{GMm}{R^2}$:

$mg = \frac{GMm}{R^2}$, откуда $GM = gR^2$.

Подставим это выражение в формулу для скорости убегания:

$v_{min} = \sqrt{\frac{2gR^2}{R}} = \sqrt{2gR}$

Поскольку тело находится на полюсе, его начальная скорость, обусловленная вращением Земли, равна нулю, и её не нужно учитывать.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$v_{min} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}} = \sqrt{125.44 \cdot 10^6 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 11.2 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Переведем результат в километры в секунду:

$v_{min} = 11.2 \text{ км/с}$

Ответ: минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, составляет $11.2 \text{ км/с}$.