Номер 4.51, страница 26 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.51, страница 26.

Условие.

4.51*. Какова кинетическая энергия $W_k$ обруча массой $\text{m}$, катящегося без проскальзывания со скоростью $\text{v}$ по плоской поверхности?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса обруча: $\text{m}$

Скорость центра масс обруча: $\text{v}$

Условие: обруч катится по плоской поверхности без проскальзывания.

Найти:

Кинетическую энергию обруча $W_k$.

Решение:

Полная кинетическая энергия $W_k$ обруча, катящегося без проскальзывания, является суммой кинетической энергии поступательного движения его центра масс ($W_{пост}$) и кинетической энергии вращательного движения относительно центра масс ($W_{вращ}$).

$W_k = W_{пост} + W_{вращ}$

Кинетическая энергия поступательного движения вычисляется по формуле:

$W_{пост} = \frac{mv^2}{2}$

где $\text{m}$ — масса тела, $\text{v}$ — скорость его центра масс.

Кинетическая энергия вращательного движения вычисляется по формуле:

$W_{вращ} = \frac{I\omega^2}{2}$

где $\text{I}$ — момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс, а $\omega$ — угловая скорость вращения.

Для обруча (тонкого кольца) момент инерции относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца, равен:

$I = mR^2$

где $\text{R}$ — радиус обруча.

Условие качения без проскальзывания означает, что линейная скорость точки на ободе относительно центра равна скорости движения центра масс. Это связывает линейную скорость $\text{v}$ и угловую скорость $\omega$ соотношением:

$v = \omega R$, откуда можно выразить угловую скорость: $\omega = \frac{v}{R}$

Подставим выражения для момента инерции $\text{I}$ и угловой скорости $\omega$ в формулу для кинетической энергии вращательного движения:

$W_{вращ} = \frac{(mR^2)(\frac{v}{R})^2}{2} = \frac{mR^2 \cdot \frac{v^2}{R^2}}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Теперь найдем полную кинетическую энергию, сложив энергию поступательного и вращательного движений:

$W_k = W_{пост} + W_{вращ} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2$

Таким образом, кинетическая энергия обруча, катящегося без проскальзывания, состоит в равных долях из энергии поступательного и вращательного движения.

Ответ: $W_k = mv^2$.