Номер 4.49, страница 26 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.49, страница 26.

Условие.

4.49*. Потенциальная энергия взаимодействия двух материальных точек имеет вид $W_p = C/r$, где $\text{r}$ — расстояние между точками. Докажите, что эти материальные точки взаимодействуют с силой $\text{F}$, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. При каких значениях $\text{C}$ взаимодействие является притяжением?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Потенциальная энергия взаимодействия двух материальных точек: $W_p = \frac{C}{r}$

$\text{r}$ - расстояние между точками

$\text{C}$ - некоторая постоянная величина

Найти:

1. Доказать, что сила взаимодействия $\text{F}$ обратно пропорциональна квадрату расстояния ($F \propto \frac{1}{r^2}$).

2. Определить, при каких значениях $\text{C}$ взаимодействие является притяжением.

Решение:

Связь между консервативной силой $\text{F}$ и потенциальной энергией $W_p$ в случае, когда энергия зависит только от расстояния $\text{r}$, выражается формулой:

$F = - \frac{dW_p}{dr}$

где $\frac{dW_p}{dr}$ — это производная потенциальной энергии по расстоянию. Знак "минус" в формуле указывает на то, что сила направлена в сторону убывания потенциальной энергии.

1. Доказательство зависимости силы от расстояния.

Найдем производную от заданной потенциальной энергии $W_p = C/r$. Для удобства дифференцирования представим это выражение в виде $W_p = C \cdot r^{-1}$.

$\frac{dW_p}{dr} = \frac{d}{dr}(C \cdot r^{-1}) = C \cdot (-1) \cdot r^{-1-1} = -C \cdot r^{-2} = -\frac{C}{r^2}$

Теперь подставим найденную производную в формулу для силы $\text{F}$:

$F = - \left(-\frac{C}{r^2}\right) = \frac{C}{r^2}$

Полученное выражение показывает, что сила $\text{F}$ прямо пропорциональна постоянной $\text{C}$ и обратно пропорциональна квадрату расстояния $\text{r}$ между материальными точками. Таким образом, доказано, что $F \propto \frac{1}{r^2}$.

2. Определение условия для силы притяжения.

Взаимодействие является притяжением, если сила направлена так, чтобы сближать точки, то есть в сторону уменьшения расстояния $\text{r}$. В системе координат, где ось направлена от одной точки к другой, такая сила считается отрицательной. Следовательно, для притяжения должно выполняться условие $F < 0$.

Рассмотрим полученное выражение для силы: $F = \frac{C}{r^2}$.

Так как расстояние $\text{r}$ — величина положительная ($r > 0$), то его квадрат $r^2$ также всегда будет положительным ($r^2 > 0$).

Это означает, что знак силы $\text{F}$ полностью определяется знаком постоянной $\text{C}$.

Чтобы выполнялось условие $F < 0$, необходимо, чтобы числитель был отрицательным, то есть $C < 0$.

Ответ: Сила взаимодействия между точками равна $F = C/r^2$, что доказывает ее обратную пропорциональность квадрату расстояния. Взаимодействие является притяжением при отрицательных значениях постоянной $\text{C}$, то есть при $C < 0$.