Номер 4.42, страница 25 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.42, страница 25.

Условие.

4.42*. Как вы знаете, мне случалось пересаживаться в полете с одного пушечного ядра на другое, встречное. На сколько изменяется суммарная кинетическая энергия моего тела и ядер при такой пересадке? Рассмотрите два случая:

1) неизменной остается скорость оставленного мною ядра;

2) неизменной остается скорость ядра, на которое я пересел.

Ядра имеют одинаковую по модулю скорость $v_0 = 1000 \text{ м/с}$ и массу $M = 100 \text{ кг}$; моя масса $m = 80 \text{ кг}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$v_0 = 1000$ м/с

$M = 100$ кг

$m = 80$ кг

Найти:

$\Delta E_k$ - изменение суммарной кинетической энергии системы для двух случаев.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из человека и двух ядер. Так как по условию пересадка происходит в полете, можно пренебречь внешними силами (сопротивлением воздуха), а сила тяжести скомпенсирована в вертикальном направлении. Таким образом, систему можно считать замкнутой, и для нее будет выполняться закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Направим ось OX в сторону начального движения человека на первом ядре. Обозначим массу человека как $\text{m}$, массу каждого ядра как $\text{M}$, а модуль их начальной скорости как $v_0$.

До пересадки человек (массой $\text{m}$) и первое ядро (массой $\text{M}$) движутся вместе как единое целое со скоростью $v_0$. Второе ядро движется им навстречу со скоростью $-v_0$.

Начальный импульс системы:

$P_{нач} = (m+M)v_0 + M(-v_0) = mv_0 + Mv_0 - Mv_0 = mv_0$

Начальная суммарная кинетическая энергия системы:

$E_{k, нач} = \frac{(m+M)v_0^2}{2} + \frac{M(-v_0)^2}{2} = \frac{(m+M)v_0^2}{2} + \frac{Mv_0^2}{2} = \frac{(m+2M)v_0^2}{2}$

1) неизменной остается скорость оставленного мною ядра

После того как человек пересел, скорость первого (оставленного) ядра осталась равной $v_0$. Человек и второе ядро стали двигаться вместе с некоторой конечной скоростью $v_{кон2}$.

Конечный импульс системы в этом случае:

$P_{кон1} = Mv_0 + (m+M)v_{кон2}$

Согласно закону сохранения импульса $P_{нач} = P_{кон1}$:

$mv_0 = Mv_0 + (m+M)v_{кон2}$

Из этого уравнения найдем скорость $v_{кон2}$:

$(m-M)v_0 = (m+M)v_{кон2} \implies v_{кон2} = \frac{m-M}{m+M}v_0$

Конечная суммарная кинетическая энергия системы:

$E_{k, кон1} = \frac{Mv_0^2}{2} + \frac{(m+M)v_{кон2}^2}{2} = \frac{Mv_0^2}{2} + \frac{(m+M)}{2} \left( \frac{m-M}{m+M}v_0 \right)^2 = \frac{Mv_0^2}{2} + \frac{(m-M)^2}{2(m+M)}v_0^2$

Изменение кинетической энергии $\Delta E_{k1}$ равно разности конечной и начальной энергий:

$\Delta E_{k1} = E_{k, кон1} - E_{k, нач} = \left( \frac{Mv_0^2}{2} + \frac{(m-M)^2 v_0^2}{2(m+M)} \right) - \frac{(m+2M)v_0^2}{2}$

$\Delta E_{k1} = \frac{v_0^2}{2} \left( M + \frac{(m-M)^2}{m+M} - (m+2M) \right) = \frac{v_0^2}{2(m+M)} \left( M(m+M) + (m-M)^2 - (m+2M)(m+M) \right)$

$\Delta E_{k1} = \frac{v_0^2}{2(m+M)} \left( Mm+M^2 + m^2-2Mm+M^2 - (m^2+3Mm+2M^2) \right)$

$\Delta E_{k1} = \frac{v_0^2}{2(m+M)} ( -4Mm ) = -\frac{2mM}{m+M}v_0^2$

Подставим числовые значения:

$\Delta E_{k1} = -\frac{2 \cdot 80 \cdot 100}{80+100} \cdot (1000)^2 = -\frac{16000}{180} \cdot 10^6 = -\frac{800}{9} \cdot 10^6 \approx -88.9 \cdot 10^6$ Дж.

Знак "минус" означает, что энергия системы уменьшилась.

Ответ: Суммарная кинетическая энергия уменьшится на $\frac{2mM}{m+M}v_0^2 \approx 88.9$ МДж.

2) неизменной остается скорость ядра, на которое я пересел

В этом случае после пересадки человек и второе ядро движутся вместе со скоростью, равной начальной скорости второго ядра, то есть $-v_0$. Первое ядро при этом приобретает некоторую конечную скорость $v_{кон1}$.

Конечный импульс системы:

$P_{кон2} = Mv_{кон1} + (m+M)(-v_0)$

Согласно закону сохранения импульса $P_{нач} = P_{кон2}$:

$mv_0 = Mv_{кон1} - (m+M)v_0$

Из этого уравнения найдем скорость $v_{кон1}$:

$mv_0 + (m+M)v_0 = Mv_{кон1} \implies (2m+M)v_0 = Mv_{кон1} \implies v_{кон1} = \frac{2m+M}{M}v_0$

Конечная суммарная кинетическая энергия системы:

$E_{k, кон2} = \frac{Mv_{кон1}^2}{2} + \frac{(m+M)(-v_0)^2}{2} = \frac{M}{2} \left( \frac{2m+M}{M}v_0 \right)^2 + \frac{(m+M)v_0^2}{2} = \frac{(2m+M)^2}{2M}v_0^2 + \frac{(m+M)v_0^2}{2}$

Изменение кинетической энергии $\Delta E_{k2}$ равно разности конечной и начальной энергий:

$\Delta E_{k2} = E_{k, кон2} - E_{k, нач} = \left( \frac{(2m+M)^2 v_0^2}{2M} + \frac{(m+M)v_0^2}{2} \right) - \frac{(m+2M)v_0^2}{2}$

$\Delta E_{k2} = \frac{v_0^2}{2} \left( \frac{(2m+M)^2}{M} + m+M - (m+2M) \right) = \frac{v_0^2}{2} \left( \frac{(2m+M)^2}{M} - M \right)$

$\Delta E_{k2} = \frac{v_0^2}{2M} \left( (2m+M)^2 - M^2 \right) = \frac{v_0^2}{2M} (4m^2 + 4mM + M^2 - M^2) = \frac{v_0^2}{2M} (4m^2 + 4mM)$

$\Delta E_{k2} = \frac{4m(m+M)}{2M}v_0^2 = \frac{2m(m+M)}{M}v_0^2$

Подставим числовые значения:

$\Delta E_{k2} = \frac{2 \cdot 80 \cdot (80+100)}{100} \cdot (1000)^2 = \frac{160 \cdot 180}{100} \cdot 10^6 = 288 \cdot 10^6$ Дж.

Положительный знак означает, что энергия системы увеличилась за счет работы, совершенной человеком при отталкивании от первого ядра.

Ответ: Суммарная кинетическая энергия увеличится на $\frac{2m(m+M)}{M}v_0^2 = 288$ МДж.