Номер 4.39, страница 25 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.39, страница 25.

Условие.

4.39*. Два железнодорожных вагона массами $m_1$ и $m_2$ медленно движутся в одну сторону со скоростями $v_1$ и $v_2$. Вагоны сталкиваются, и пружины буферов расталкивают их так, что удар можно считать упругим. Какова максимальная энергия $\text{W}$ упругой деформации пружин?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса первого вагона: $m_1$

Масса второго вагона: $m_2$

Начальная скорость первого вагона: $v_1$

Начальная скорость второго вагона: $v_2$

Столкновение упругое.

Найти:

Максимальная энергия упругой деформации пружин: $\text{W}$

Решение:

Максимальная энергия упругой деформации пружин $\text{W}$ будет в тот момент, когда сжатие пружин максимально. В этот момент относительная скорость вагонов равна нулю, то есть они движутся как единое целое с некоторой общей скоростью $\text{u}$.

Для нахождения этой скорости воспользуемся законом сохранения импульса для системы из двух вагонов, так как система является замкнутой (внешними силами в горизонтальном направлении можно пренебречь). Импульс системы до столкновения равен импульсу системы в момент максимального сжатия пружин:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$

Отсюда выразим общую скорость $\text{u}$:

$u = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Теперь воспользуемся законом сохранения энергии. Так как удар упругий, полная механическая энергия системы сохраняется. В начальный момент времени энергия системы состоит только из кинетической энергии двух вагонов. В момент максимального сжатия пружин энергия системы состоит из кинетической энергии обоих вагонов, движущихся с общей скоростью $\text{u}$, и потенциальной энергии $\text{W}$ сжатых пружин.

$E_{k_{начальная}} = E_{k_{конечная}} + W$

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} + W$

Выразим из этого уравнения искомую энергию $\text{W}$:

$W = \left( \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} \right) - \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2}$

Подставим в это выражение ранее найденную скорость $\text{u}$:

$W = \frac{1}{2} \left( m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 - (m_1 + m_2) \left( \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} \right)^2 \right)$

$W = \frac{1}{2} \left( m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 - \frac{(m_1 v_1 + m_2 v_2)^2}{m_1 + m_2} \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$W = \frac{1}{2} \frac{(m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2)(m_1 + m_2) - (m_1 v_1 + m_2 v_2)^2}{m_1 + m_2}$

Раскроем скобки в числителе:

$(m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2)(m_1 + m_2) = m_1^2 v_1^2 + m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 + m_2^2 v_2^2$

$(m_1 v_1 + m_2 v_2)^2 = m_1^2 v_1^2 + 2 m_1 m_2 v_1 v_2 + m_2^2 v_2^2$

Теперь вычтем второе из первого:

$(m_1^2 v_1^2 + m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 + m_2^2 v_2^2) - (m_1^2 v_1^2 + 2 m_1 m_2 v_1 v_2 + m_2^2 v_2^2) =$

$= m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 - 2 m_1 m_2 v_1 v_2$

Вынесем общий множитель $m_1 m_2$:

$= m_1 m_2 (v_1^2 - 2 v_1 v_2 + v_2^2) = m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2$

Подставим полученное выражение обратно в формулу для $\text{W}$:

$W = \frac{m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$

Эту же формулу можно записать через приведенную массу $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ и относительную скорость $v_{отн} = v_1 - v_2$:

$W = \frac{1}{2} \mu v_{отн}^2$

Ответ: $W = \frac{m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$