Номер 4.41, страница 25 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.41, страница 25.

Условие.

4.41*. Одинаковые шары подвешены на нитях равной длины, как показано на рисунке. Расстояния между соседними шарами очень малы. Что произойдет, если отклонить крайний шар и отпустить? Если отклонить два шара вместе? Столкновения считайте упругими.

Решение.

Решение 2.

Эта задача описывает поведение системы, известной как "колыбель Ньютона" или "маятник Ньютона". Ключевым для решения является применение законов сохранения импульса и сохранения кинетической энергии при упругих столкновениях. Так как все шары одинаковы, их массы равны ($\text{m}$).

Что произойдёт, если отклонить крайний шар и отпустить?

При упругом центральном столкновении двух тел одинаковой массы, если одно из тел до столкновения покоилось, тела обмениваются скоростями. То есть, налетающее тело останавливается, а покоившееся начинает двигаться со скоростью, которую имело первое тело до удара.

В данном случае происходит цепная передача импульса и энергии:

1. Отклоненный шар №1, достигнув нижней точки, ударяет по покоящемуся шару №2. После удара шар №1 останавливается, а шар №2 приобретает его скорость.

2. Шар №2 тут же ударяет по шару №3, останавливается сам и передаёт ему свою скорость.

3. Этот процесс последовательно распространяется вдоль всего ряда шаров.

4. Когда импульс доходит до последнего шара (№6), он приходит в движение с той же скоростью, которую имел первый шар в момент удара, и отклоняется на ту же высоту. Остальные шары (№1–5) после передачи импульса остаются в покое в нижнем положении.

Ответ: Крайний шар с противоположной стороны (№6) отклонится на ту же высоту, с которой был отпущен первый шар, а все остальные шары останутся неподвижными. Затем процесс повторится в обратном направлении.

Что произойдёт, если отклонить два шара вместе?

Рассмотрим систему из двух шаров (№1 и №2), которые отклонили и отпустили. В момент удара о шар №3 они оба имеют одинаковую скорость $\text{v}$. Суммарный импульс системы до столкновения равен $p_{вх} = mv + mv = 2mv$. Суммарная кинетическая энергия равна $E_{к, вх} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$.

В результате столкновений импульс и энергия должны сохраниться. Проанализируем возможные результаты:

Вариант 1: Отклонится один шар (№6) со скоростью $u_1$.
Из закона сохранения импульса: $p_{вх} = p_{вых} \implies 2mv = mu_1 \implies u_1 = 2v$.
Тогда кинетическая энергия на выходе: $E_{к, вых} = \frac{1}{2}mu_1^2 = \frac{1}{2}m(2v)^2 = 2mv^2$.
Поскольку $E_{к, вых} \neq E_{к, вх}$, этот вариант невозможен, так как нарушается закон сохранения энергии.

Вариант 2: Отклонятся два шара (№5 и №6) с одинаковой скоростью $u_2$.
Из закона сохранения импульса: $p_{вх} = p_{вых} \implies 2mv = mu_2 + mu_2 = 2mu_2 \implies u_2 = v$.
Тогда кинетическая энергия на выходе: $E_{к, вых} = \frac{1}{2}mu_2^2 + \frac{1}{2}mu_2^2 = mu_2^2 = mv^2$.
Поскольку $E_{к, вых} = E_{к, вх}$, этот вариант является единственно возможным, так как выполняются оба закона сохранения.

Ответ: Два крайних шара с противоположной стороны (№5 и №6) отклонятся вместе на ту же высоту, с которой были отпущены первые два шара. Остальные шары останутся неподвижными.