Номер 4.38, страница 25 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.38, страница 25.

Условие.

4.38*. Шар массой $m_1$ налетает на неподвижный шар массой $m_2$. Происходит лобовое упругое соударение. Как зависит доля $\alpha$ переданной при соударении энергии от отношения масс шаров $k = m_1/m_2$? Постройте график зависимости $\alpha(k)$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса первого (налетающего) шара: $m_1$

Масса второго (покоящегося) шара: $m_2$

Начальная скорость первого шара: $v_1$

Начальная скорость второго шара: $v_2 = 0$

Тип соударения: лобовое, абсолютно упругое

Отношение масс: $k = m_1 / m_2$

Доля переданной энергии: $\alpha$

Найти:

Зависимость $\alpha(k)$ и построить ее график.

Решение:

Доля переданной энергии $\alpha$ — это отношение кинетической энергии, которую получил второй шар в результате соударения ($E_{к2}'$), к начальной кинетической энергии системы, которая была сосредоточена в первом шаре ($E_{к1}$).

Начальная кинетическая энергия системы: $E_{нач} = E_{к1} = \frac{m_1 v_1^2}{2}$.

Энергия, переданная второму шару, равна его кинетической энергии после столкновения: $E_{пер} = E_{к2}' = \frac{m_2 u_2^2}{2}$, где $u_2$ — скорость второго шара после соударения.

Таким образом, доля переданной энергии равна: $\alpha = \frac{E_{пер}}{E_{нач}} = \frac{\frac{m_2 u_2^2}{2}}{\frac{m_1 v_1^2}{2}} = \frac{m_2}{m_1} \left(\frac{u_2}{v_1}\right)^2$.

Для определения скорости $u_2$ используем законы сохранения импульса и кинетической энергии для лобового упругого соударения. Из решения системы уравнений законов сохранения следует, что скорость второго шара после столкновения равна:

$u_2 = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_1$

Подставим это выражение в формулу для $\alpha$:

$\alpha = \frac{m_2}{m_1} \left( \frac{\frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_1}{v_1} \right)^2 = \frac{m_2}{m_1} \left( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right)^2 = \frac{m_2}{m_1} \frac{4 m_1^2}{(m_1 + m_2)^2} = \frac{4 m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2}$

Теперь выразим $\alpha$ через заданное отношение масс $k = m_1 / m_2$. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $m_2^2$:

$\alpha = \frac{\frac{4 m_1 m_2}{m_2^2}}{(\frac{m_1 + m_2}{m_2})^2} = \frac{4 \frac{m_1}{m_2}}{(\frac{m_1}{m_2} + \frac{m_2}{m_2})^2} = \frac{4k}{(k+1)^2}$

Итак, искомая зависимость: $\alpha(k) = \frac{4k}{(k+1)^2}$.

Для построения графика этой функции проанализируем ее. Область определения: $k > 0$.

Исследуем поведение функции на границах области определения и найдем ее экстремум.

При $k \to 0$ (масса налетающего шара пренебрежимо мала): $\alpha \to 0$.

При $k \to \infty$ (масса налетающего шара очень велика): $\alpha = \frac{4k}{k^2(1+1/k)^2} \approx \frac{4}{k} \to 0$.

Для нахождения максимума возьмем производную $\alpha'(k)$ и приравняем ее к нулю:

$\alpha'(k) = \frac{4(k+1)^2 - 4k \cdot 2(k+1)}{(k+1)^4} = \frac{4(k+1) - 8k}{(k+1)^3} = \frac{4-4k}{(k+1)^3}$

Производная равна нулю при $4-4k = 0$, то есть при $k=1$. Это точка максимума, так как при $k<1$ производная положительна (функция растет), а при $k>1$ — отрицательна (функция убывает).

Максимальное значение функции: $\alpha(1) = \frac{4 \cdot 1}{(1+1)^2} = 1$.

Таким образом, максимальная передача энергии (100%) происходит, когда массы шаров равны ($m_1 = m_2$).

График функции $\alpha(k)$ начинается в начале координат, возрастает до максимума в точке $(1, 1)$ и затем асимптотически стремится к нулю при увеличении $\text{k}$.

Ответ:

Зависимость доли $\alpha$ переданной при соударении энергии от отношения масс шаров $k = m_1/m_2$ описывается формулой $\alpha(k) = \frac{4k}{(k+1)^2}$. График этой зависимости представляет собой кривую, начинающуюся в начале координат, достигающую максимального значения $\alpha=1$ при $k=1$ и асимптотически стремящуюся к нулю при $k \to \infty$.