Номер 4.36, страница 25 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.36, страница 25.

Условие.

4.36. Два одинаковых шара движутся со скоростями $v_1$ и $v_2$ вдоль одной прямой. Найдите их скорости $u_1$ и $u_2$ после упругого удара.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса первого шара: $m_1 = m$

Масса второго шара: $m_2 = m$

Начальная скорость первого шара: $v_1$

Начальная скорость второго шара: $v_2$

Столкновение является абсолютно упругим.

Найти:

Конечную скорость первого шара $u_1$

Конечную скорость второго шара $u_2$

Решение:

При абсолютно упругом ударе выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

1. Запишем закон сохранения импульса для системы двух шаров в проекции на прямую, вдоль которой они движутся:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$

По условию задачи шары одинаковые, следовательно, их массы равны: $m_1 = m_2 = m$.

$m v_1 + m v_2 = m u_1 + m u_2$

Сократив обе части уравнения на массу $\text{m}$, получим первое уравнение системы:

$v_1 + v_2 = u_1 + u_2 \quad (1)$

2. Запишем закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{1}{2}m_1 u_1^2 + \frac{1}{2}m_2 u_2^2$

Так же подставим $m_1 = m_2 = m$ и сократим общий множитель $\frac{1}{2}m$:

$v_1^2 + v_2^2 = u_1^2 + u_2^2 \quad (2)$

Теперь необходимо решить систему, состоящую из уравнений (1) и (2), чтобы найти неизвестные скорости $u_1$ и $u_2$.

Перегруппируем слагаемые в обоих уравнениях, перенеся величины, относящиеся к первому шару, в левую часть, а ко второму — в правую.

Из (1): $v_1 - u_1 = u_2 - v_2 \quad (1')$

Из (2): $v_1^2 - u_1^2 = u_2^2 - v_2^2$

Разложим левую и правую части последнего уравнения на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(v_1 - u_1)(v_1 + u_1) = (u_2 - v_2)(u_2 + v_2) \quad (2')$

Теперь подставим уравнение (1') в уравнение (2'):

$(u_2 - v_2)(v_1 + u_1) = (u_2 - v_2)(u_2 + v_2)$

Это равенство справедливо в двух случаях:

а) Если $u_2 - v_2 = 0$, то $u_2 = v_2$. Подставив это в (1'), получим $v_1 - u_1 = 0$, то есть $u_1 = v_1$. Это тривиальное решение означает, что скорости шаров не изменились, то есть столкновения не произошло. Мы ищем нетривиальное решение.

б) Если $u_2 - v_2 \ne 0$ (столкновение произошло), мы можем разделить обе части уравнения на $(u_2 - v_2)$, получив:

$v_1 + u_1 = v_2 + u_2 \quad (3)$

Теперь у нас есть система двух простых линейных уравнений (1) и (3):

$\begin{cases} u_1 + u_2 = v_1 + v_2 \\ u_2 - u_1 = v_1 - v_2 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(u_1 + u_2) + (u_2 - u_1) = (v_1 + v_2) + (v_1 - v_2)$

$2u_2 = 2v_1$

$u_2 = v_1$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(u_1 + u_2) - (u_2 - u_1) = (v_1 + v_2) - (v_1 - v_2)$

$2u_1 = 2v_2$

$u_1 = v_2$

Таким образом, в результате упругого столкновения два одинаковых шара обмениваются скоростями.

Ответ: Скорости шаров после упругого удара равны $u_1 = v_2$ и $u_2 = v_1$.