Номер 4.32, страница 24 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 4. Импульс, работа, энергия. Законы сохранения - номер 4.32, страница 24.

Условие.

4.32* Однажды во время охоты я увидел летящую головку сыра. Когда она села на ветку, я тут же выстрелил и, конечно, попал. Головка сыра упала на землю, но оказалось, что она всего лишь ранена. Пришлось еще раз выстрелить в нее — сверху вниз. Когда я разрезал сыр, то обнаружил, что первая пуля вошла в сыр на глубину $s = 10 \text{ см}$, а вторая — на $\Delta s = 1 \text{ мм}$ глубже, чем первая (измерения я делал очень тщательно). Я сразу же вычислил массу $\text{M}$ головки сыра. Чему равна эта масса? (Замечу, что массу пули я знал: $m = 10 \text{ г}$. Кроме того, я предполагал, что сыр и земля достаточно твердые, а сила сопротивления $\text{F}$, действующая на пулю внутри сыра, постоянна).

Решение.

Решение 2.

Дано:

$s = 10 \text{ см}$

$\Delta s = 1 \text{ мм}$

$m = 10 \text{ г}$

$s = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
$\Delta s = 1 \text{ мм} = 0.001 \text{ м}$
$m = 10 \text{ г} = 0.01 \text{ кг}$

Найти:

$\text{M}$

Решение:

Рассмотрим два случая выстрела. Предполагаем, что начальная скорость пули $v_0$ перед попаданием в сыр в обоих случаях одинакова, а сила сопротивления $\text{F}$ внутри сыра постоянна.

Случай 1: Первый выстрел (головка сыра на ветке)

Пуля массой $\text{m}$ с начальной скоростью $v_0$ попадает в неподвижную головку сыра массой $\text{M}$. Происходит абсолютно неупругий удар, так как пуля застревает в сыре. В этом случае головка сыра может свободно двигаться (отдавать).

Запишем закон сохранения импульса для системы «пуля + сыр» в горизонтальном направлении. Пусть $\text{u}$ — скорость системы сразу после того, как пуля вошла в сыр:

$m v_0 = (M + m) u$

Работа силы сопротивления $\text{F}$ на пути $\text{s}$ (глубина проникновения пули) равна изменению механической энергии системы. Начальная кинетическая энергия системы — это энергия пули, $E_{k, нач} = \frac{1}{2} m v_0^2$. Конечная кинетическая энергия системы — это энергия совместного движения сыра и пули, $E_{k, кон} = \frac{1}{2} (M + m) u^2$.

Согласно теореме об изменении кинетической энергии, работа всех сил (в данном случае только внутренняя сила сопротивления) равна изменению кинетической энергии системы:

$A_F = E_{k, кон} - E_{k, нач}$

$-F \cdot s = \frac{1}{2} (M + m) u^2 - \frac{1}{2} m v_0^2$

Подставим в это уравнение скорость $u = \frac{m v_0}{M + m}$ из закона сохранения импульса:

$-F s = \frac{1}{2} (M + m) \left(\frac{m v_0}{M + m}\right)^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} \frac{m^2 v_0^2}{M + m} - \frac{1}{2} m v_0^2$

$-F s = \frac{1}{2} m v_0^2 \left(\frac{m}{M + m} - 1\right) = \frac{1}{2} m v_0^2 \left(\frac{m - M - m}{M + m}\right) = - \frac{1}{2} \frac{m M v_0^2}{M + m}$

Отсюда получаем первое уравнение:

$F s = \frac{1}{2} \frac{m M}{M + m} v_0^2 \quad (1)$

Случай 2: Второй выстрел (головка сыра на земле)

Головка сыра лежит на твердой земле, поэтому она неподвижна и не может смещаться. Вся начальная кинетическая энергия пули переходит во внутреннюю энергию (теплоту) за счет работы силы сопротивления. Пуля проникает на глубину $s_2 = s + \Delta s$.

Применим теорему об изменении кинетической энергии для пули:

$\Delta E_k = A_F$

$0 - \frac{1}{2} m v_0^2 = -F \cdot (s + \Delta s)$

Отсюда получаем второе уравнение:

$F (s + \Delta s) = \frac{1}{2} m v_0^2 \quad (2)$

Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим правую часть уравнения (2) в уравнение (1):

$F s = \frac{M}{M + m} \left( \frac{1}{2} m v_0^2 \right) = \frac{M}{M + m} \cdot F (s + \Delta s)$

Поскольку $F \neq 0$, мы можем сократить $\text{F}$:

$s = \frac{M}{M + m} (s + \Delta s)$

Решим это уравнение относительно $\text{M}$:

$s (M + m) = M (s + \Delta s)$

$s M + s m = M s + M \Delta s$

$s m = M \Delta s$

$M = \frac{s \cdot m}{\Delta s}$

Подставим числовые значения. Удобнее использовать исходные единицы, так как отношение $s / \Delta s$ будет безразмерным:

$s = 10 \text{ см} = 100 \text{ мм}$

$\Delta s = 1 \text{ мм}$

$m = 10 \text{ г}$

$M = \frac{100 \text{ мм} \cdot 10 \text{ г}}{1 \text{ мм}} = 1000 \text{ г} = 1 \text{ кг}$

Ответ: Масса головки сыра равна $1 \text{ кг}$.